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Le problème de la chèvre et du silo La chèvre
est dans un champ, attachée à une longe (une corde). On se demande quelle est
la superficie que la chèvre est capable de brouter. |
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Dans ce
cas, la longe est attachée à un silo à grain de forme cylindrique.
Lorsque
la chèvre explore le bas du champ, la
corde s'enroule autour du silo et sa longueur diminue progressivement.
L'extrémité balaie une sorte de spirale, en fait, une développante de cercle. Deux cas
se présentent:
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Le calcul de l'aire jaune nécessite le calcul d'une intégrale. Voir le
calcul en: Goat Problem –
Wolfram MathWorld |
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La longe
de 20 m est attachée au silo à un anneau situé à un mètre de haut. Est-ce
que la chèvre pourra atteindre la carotte? Il s'agit d'un cas particulier où OB = BC et cela facilite le calcul. Si le point C est à la distance maximale, alors la corde est
parfaitement enroulée sur le silo et la droite MC est tangente
au cercle. Conséquence: l'angle OMC est droit. |
OA = OM = OB = BC |
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Dans le triangle rectangle OMC
et avec le théorème de
Pythagore: |
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Dans le
triangle rectangle OMC. le cosinus
de 60° est égal à ½ et béta est complémentaire
d'alpha. |
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Le
triangle OMB est isocèle
avec alpha = 60° |
Pour information: le triangle OMB est équilatéral et MB = OM =
r |
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Distance
à la carotte, au sol: |
L = 8,660 + 10,472 =
19,132… |
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L'anneau
est à 1 m du sol. On utilise le théorème de Pythagore sur la projection
verticale pour calculer la distance oblique. |
Lo² = L² + 1² = 367,04 Lo = 19,158… m La chèvre, avec 20 m de
longe pourra atteindre la carotte. |
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Formulation générale |
Rayon r, distance à la
carotte d et hauteur de l'anneau h.
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Voir |
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DicoNombre |
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Site |
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