NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Géométrie

Problème de la chèvre

 

Glossaire

Géométrie

 

 

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Géométrie

 

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Chèvre en général

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Chèvre et cercle

Chèvre et rectangle

Fourmi sur cylindre

Chèvre et silo

Équation avec  cercle

Les dix chèvres

Chèvre trigonométrique

Chèvre, chou et loup

 

Sommaire de cette page

 

>>> Chèvre et silo

>>> Chèvre et carotte

 

 

 

 

Le problème de la chèvre et du silo

 

La chèvre est dans un champ, attachée à une longe (une corde). On se demande quelle est la superficie que la chèvre est capable de brouter.

 

 

 

Chèvre attachée à un silo

 

Dans ce cas, la longe est attachée à un silo à grain de forme cylindrique.

 

Lorsque la chèvre explore le bas du champ, la  corde s'enroule autour du silo et sa longueur diminue progressivement. L'extrémité balaie une sorte de spirale, en fait, une développante de cercle.

 

Deux cas se présentent:

*       L <  R = demi-périmètre du cercle


La longueur de la longe (L) ne lui permet pas d'atteindre les mêmes zones en passant d'un côté ou de l'autre.  L'aire accessible est égale à celle du demi-cercle bleu ajoutée à l'aire jaune: 

*       L >  R
La chèvre peut atteindre la même zone par un côté ou l'autre. Ça se complique …

 

Le calcul de l'aire jaune nécessite le calcul d'une intégrale.

Voir le calcul en:

 Goat Problem – Wolfram MathWorld

 

 

 

La chèvre et la carotte

La longe de 20 m est attachée au silo à un anneau situé à un mètre de haut.

Est-ce que la chèvre pourra atteindre la carotte?

 

Il s'agit d'un cas particulier où OB = BC et cela facilite le calcul.

Si le point C est à la distance maximale, alors la corde est parfaitement enroulée sur le silo et la droite MC est tangente au cercle. Conséquence: l'angle OMC est droit.

OA = OM = OB = BC

Dans le triangle rectangle OMC et avec le théorème de Pythagore:

Dans le triangle rectangle OMC. le cosinus de 60° est égal à ½  et béta est complémentaire d'alpha.

Le triangle OMB est isocèle avec alpha  = 60°

Pour information: le triangle OMB est équilatéral et MB = OM = r

Longueur de l'arc AM:


 

Distance à la carotte, au sol:

L = 8,660 + 10,472 = 19,132…

L'anneau est à 1 m du sol. On utilise le théorème de Pythagore sur la projection verticale pour calculer la distance oblique.

Lo² = L² + 1² = 367,04

Lo = 19,158…  m

La chèvre, avec 20 m de longe pourra atteindre la carotte.

 

Formulation générale

Rayon r, distance à la carotte d et hauteur de l'anneau h.

 

 

 

 

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*         Les dix chèvres

*         Puits

*         Traversée de la rivière

DicoNombre

*         Nombre 1,158…

Site

*         La chèvre de Monsieur Poincaré – Serge Mehl

*         Goat Problem – Wikipedia

*         Goat Problem – Wolfram MathWorld

*         OEIS A133731 – Decimal expansion of goat tether length to graze half a unit field.

*         Grazing Animals – Ask Dr. Math

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