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  LOGIQUE

 

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Logique

IMPLICATION

 

Glossaire

Logique

 

 

INDEX

 

Logique

 

Général

 

Introduction

Développements

Exemples

Logique – Cours

 

Sommaire de cette page

>>> Exemple: le sol est mouillé

>>> Exemple avec multiples de 5

>>> Implication – Définitions et formulations alternatives

>>> Implications vraies ou fausses

 

 

 

 

 

  FONCTION LOGIQUE "IMPLICATION"

Développements 

 

Deux exemples développés pas à pas pour comprendre le comportement un peu déroutant de l'implication logique.

 

        

Exemple: le sol est mouillé (exemple classique)

Affirmation:

 S'il pleut alors le sol est mouillé.

 

P et Q sont des assertions (ou proposition d'où la lettre P)

Ici, le P rappelle aussi Pluie.

 

P: il pleut

Q: le sol est mouillé

 

Nouvelle assertion (implication)

 

 

 De deux choses l'une: le sol est mouillé ou ne l'est pas. De même: il pleut ou il ne pleut pas.

S'il pleut, le sol est mouillé. Il pleut  est une notion "incluse" dans celle de sol mouillé.

 

Il pleut

Le sol est mouillé

Cas

S'il pleut le sol est mouillé

VRAIE

VRAIE

1

VRAIE, chaque fois qu'il pleut, c'est inéluctable, le sol est mouillé.

VRAIE

FAUSSE

4

FAUSSE, il n'existe pas de cas où la pluie ne mouille pas le sol (cas 4, hors de l'univers des possibles).

FAUSSE

VRAIE

2

VRAIE, s'il ne pleut pas, il existe des cas où le sol est mouillé pour d'autres raisons que la pluie.

FAUSSE

FAUSSE

3

VRAIE, même s'il ne pleut pas, il existe des cas où le sol n'est pas mouillé.

 

Même type d'affirmations: si l'une  est vraie l'autre l'est aussi:

P implique Q

P est incluse dans Q

 

Notez que ces affirmations sont aussi vraies:

Le sol est mouillé (Q) ou il ne pleut pas (non-P)

Il n'est pas vrai qu'il pleut et que le sol n'est pas mouillé (Loi de Morgan).

 

 

 

Exemple avec multiples de 5

Affirmation:

 Tout nombre terminé par 0 est multiple de 5.

 

 

 

P: Nombres terminés par 5 (n0)

Q: Nombres multiples de 5 (M5)

 

Nouvelle assertion (implication)

 

Sur tout l'ensemble des nombres multiples de 5 (M5),
une partie est terminée par 0 (n0);
les autres par 5 (n5).

 

Il n'existe pas de nombres non-terminés par 0 en dehors de M5.

Ces nombres sont une partie de l'univers de tous les nombres entiers.

Il faut ajouter tous ceux terminés par 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 et 9.

 

n0

n terminé

par 0

M5

n est multiple

de 5

si n est terminé par 0

                                 alors n est multiple de 5

VRAIE

VRAIE

VRAIE, tous les nombres terminés par 0 sont inclus dans l'ensemble des nombres multiples de 5.

VRAIE

FAUSSE

FAUSSE, il n'existe pas de nombres terminés par 0 qui ne soient pas multiples de 5.

FAUSSE

VRAIE

VRAIE, si le nombre n'est pas terminé par 0, il peut être multiple de 5; il est alors terminé par 5.

FAUSSE

FAUSSE

VRAIE, si le nombre n'est pas terminé par 0, il peut ne pas être multiple de 5, c'est VRAI; il est alors terminé par 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ou 9.

L'implication est toujours VRAIE sauf si n0 vraie et si M5 est fausse.

L'implication est toujours vraie si

*       n0 est faux ou

*       M5 est vraie.

attention.png   Les deux dernières lignes prêtent souvent à discussion et en tout cas ne sont pas toujours faciles à admettre.

La cohérence logique de l'implication par rapport à la double implication (l'équivalence) impose ces conclusions (vraies) lorsque la première assertion est fausse.

 

Même type d'affirmations: si l'une  est vraie l'autre l'est aussi:

P implique Q

Non-P ou Q

Non (P et non Q)

 

 

 

 

Implication

Définition

L'implication est un opérateur binaire. Elle lie deux assertions entre elles P et Q

 

La première définition est la plus classique

La seconde permet de bien spécifier la table de vérité, notamment en évitant toute discussion lorsque l'assertion P est fausse.

 

 

On dit qu'une assertion P implique une assertion Q seulement si Q est vraie chaque fois que P est vraie.

 

On note P  Q la assertion qui prend les mêmes valeurs de vérité que le assertion

 

Même type d'assertions

 

S'il pleut le sol est mouillé

"Il pleut" est inclus dans "sol mouillé"

Il ne pleut pas ou le sol est mouillé

il n'est pas vrai qu'il pleut et le sol n'est pas mouillé

Si le sol n'est pas mouillé, c'est qu'il ne pleut pas.

 

Cette dernière assertion est la contraposée de l'assertion initiale.

Tables de vérité

 

 

Implications vraies ou fausses

L'implication est étrange! Il faut vraiment se référer à sa définition (sa table de vérité).

Assertion: s'il pleut, le sol est mouillé.

P: il pleut – Vrai

Q: le sol est mouillé – Vrai

Assertion vraie.

Les chiens ne font pas des chats ni les chats des chiens.

P: les chiens ne font pas des chats – Vrai

Q: les chats ne font pas des chiens – Vrai

Assertion vraie.

Soit les chiens sont des hommes, soit les chiens ont quatre pattes.

P: les chiens sont des hommes – Faux

Q: les chiens ont quatre pattes – Vrai

Assertion vraie.

Les chiens ne sont ni des hommes ni des animaux à quatre pattes.

P: les chiens ne se sont pas des hommes – Vrai

Q: les chiens ne sont pas des animaux à quatre pattes – Faux

Assertion fausse.

Si Hollande est hollandais alors 1 + 1 = 3.

P = Hollande est hollandais – Faux

Q: 1 + 1 = 3 – Faux

Assertion vraie.

 

 

 

 

 

 

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