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Édition du: 24/11/2022

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TISSUS & Mathématiques

 

Passer des fils les uns sur les autres pour constituer un tissu, c'est le tissage. Il existe trois façons fondamentales pour croiser ces fils: la toile, le sergé et le satin. Les deux premiers étant des cas particuliers du satin.

Le motif du satin peut être représenté sur une grille carré (un échiquier) appelé armure. Toutes les permutations figurées y sont permises (motifs que l'on retrouve dans les carrés latins).

Le premier à voir théorisé les mathématiques du tissu est Édouard Lucas (1842-1891), mathématicien français.

      

 

Sommaire de cette page

>>> Tissus et tissage

>>> Toile ou drap

>>> Sergé

>>> Satin

 

 

>>> Historique

>>> Échiquier des tissus

>>> Famille des satins

>>> Bilan

 

Débutants

Carrés magiques

 

Glossaire

Carrés magiques

 

Tissus et tissage

haut

 

Il existe différents types de tissus. Ils sont caractérisés par leur motifs de tissage, appelé armures, comme l'armure satin ou l'armure velours.

Les tissus à texture rectiligne sont composés de deux types de fils entrecroisés perpendiculairement: les fils de trame et les fils de chaine.

Il existe trois armures  simples: la toile, le sergé et le satin. Le velours est une armure complexe comprenant des fils supplémentaires qui seront rasés.

 

Note: satin et velours ne sont pas des tissus mais des armures.

 

La duite désigne le point de passage de la trame à travers la chaine. Au dessus de la trame c'est un pris et en dessous c'est un laissé ou un sauté.

 

Le motif de base, l'armure, se reproduit par translations parallèles aux axes figurant ces deux fils.  Il correspond généralement à une grille carrée (un échiquier). Sa dimension p est le module de l'armure (ou rapport d'armure).

 

Sur une armure sont figurés les points de liage correspondant aux points du tissu où s’opère la levée successive des fils de chaine, à chaque insertion de duite.

 

L’échiquier carré associé à une armure comporte un certain nombre de cases ombrées correspondant aux points de liage, les fils de chaine étant représentés par les colonnes, ceux de trame par les lignes de l’échiquier.

 

 

Vocabulaire du tissage

 

Exemple de rendu (cas de la toile)

 

Vocabulaire de base du tissage

Tissu

Textile

Toile

Sergé

Satin

Velours

Damas

Fil

Fabric

Testile

Tabby

Twill

Satin

Velvet

Damask

Yarn, thread

Tissage

Armure

Chaine

Trame

Pris

Laissé ou sauté

Duite

Mèche

Entrelacs

Weaving

Weave

Warp

Weft

Taken

Skipped

Pick or shot

Wick

Interlocking

Patron

Métier

Navette

Cannette

Écheveau

Pattern

Loom

Shuttle

Bobbin

Skein

Source: tout le vocabulaire du textile en diverses langues

 

 

 

Toile ou drap – Tabby or plain weave

haut

 

Présentation

La toile est la plus simple des armures dite aussi armure unie, armure tabby, armure de lin ou armure de taffetas

L'armure toile est obtenue en soulevant alternativement les fils pairs et les fils impairs de la chaîne, pour laisser passage au fil de trame (duite).

 

Tissage

Dans un tissu à armure toile, les fils de chaîne et de trame se croisent à angle droit, alignés de manière à former un simple motif croisé.

Chaque fil de trame croise les fils de chaîne en passant au-dessus de l'un d'eux, puis sous le suivant, et ainsi de suite. Le fil de trame suivant passe sous les fils de chaîne que son voisin a traversés, et vice versa.

 

Propriétés d'une toile

Elle est solide et résistante, et elle est utilisée pour les tissus de mode et d'ameublement.

*      même aspect sur les deux faces,

*      du fait du changement de direction, les fils doivent être très solides, mais à cette condition, les tissus sont très résistants car tressés au maximum.

 

Quelques toiles principales: la flanelle (laine), la batiste (lin ou chanvre), le taffetas (en soie), le chambray (étym. de la ville de Cambrai, proche du jean), la popeline (trame en laine et chaine en soie).

 

Principe du tissage et représentation

 

 

Allure des entrecroisements

 

Exemple de rendu

Voir Brève 47-939

 

 

 

Sergé

haut

 

Présentation et tissage

Le sergé est un type d'armure textile présentant un motif de nervures diagonales parallèles.

Il est fabriqué en faisant passer le fil de trame sur un ou plusieurs fils de chaîne, puis sous deux ou plusieurs fils de chaîne, et ainsi de suite, avec un "pas" ou un décalage entre les rangs pour créer le motif diagonal caractéristique.

Un sergé a un module de 3, et un décochement de 1.

 

Propriétés du sergé :

*      effet de diagonale,

*      endroit et envers différents,

*      tissu avec un certain relief.

 

Parmi les sergés on compte le Denim, tissu de coton servant à fabriquer les jeans (étymologie: sergé de Nîmes, fabrication dès 1557).

 

Principe du tissage et représentation

 

Allure des entrecroisements et exemple de rendu

 

 

Satins réguliers

haut

 

Présentation et tissage

Les tissus à armure satin sont plus souples et présentent de meilleures caractéristiques de drapage que les armures unies (toiles).

Dans une armure satin, le fil de trame passe sur plusieurs fils de chaîne avant de s'entrelacer sous un fil de chaîne.

L'armure est caractérisée par des décochements (sauts), à la fois en trame et en chaine, égaux à des nombres premiers avec le module (excluant +1 et -1). Pour une armure de module 5, on aura donc deux décochement possibles: 2 et  3.

 

Propriétés du satin :

*      lisse, doux,

*      brillant car la surface est assez plate,

*      endroit et envers différents,

*      il y a de grands flottés (espace sans liaison) et peu de points de liaison.

 

 

Principe du tissage et représentation

 

Allure des entrecroisements et exemple de rendu

 

 

Historique

 

En 1801, Joseph Jacquard met au point le premier métier à tisser, un système mécanique programmable avec cartes perforées.

 

En 1871, Édouard Gand (1815-1891), professeur de dessin dans l’industrie du tissage souhaite pouvoir indiquer comment réaliser sur les tissus des mosaïques, des combinaisons géométriques, des agencements typiques de diverses cultures: chinoise, moresque, grecque,  égyptienne. Il représente les différents modes de tissage sur des motifs quadrillés.

Il réalisera divers métiers, en particulier le compositeur automatique (breveté) capable de générer par lui-même des motifs.

Parmi les conclusions du travail de Gand: le motif de l'armure est toujours un carré.

 

"Le rapport longitudinal contient autant de duites que le rapport transversal exige de chaine, c'est-à-dire que, dans tout papier quadrillé destiné à une armure fondamentale donnée, il y aura toujours autant de cases sur la hauteur de la mise en carte que de cases sur la largeur de cette mise en carte"

 

En 1867, Édouard Lucas (1842-1891), suite au travaux de Gand, publie: Application de l'Arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers. Il y présente un classement de tous les systèmes possibles  d'entrecroisement des fils de chaine et de trame. Il met en avant l'utilisation des nombres premiers dans la construction des armures des satins réguliers.

En 1883, il complète ces études et introduit les permutations figurées sur échiquier.

 

Elles consistent en une disposition de n cases noires dans un carré n × n de sorte à constituer une transversale de carré latin (chaque ligne et chaque colonne ne contient qu’une case noire, comme n tours placées sur un échiquier de sorte que deux quelconques d’entre elles ne soient jamais en prise.

 

La géométrie du tissage sera reprise sous la forme plus générale de l’étude des réseaux réguliers de points, et elle se développe en prenant le nom de géométrie des quinconces. L’intérêt mathématique des représentations géométriques obtenues prime alors sur leur utilisation pratique.

 

À titre d'exemple: Théorème des quinconces
Les centres de trois cases quelconques d'un échiquier de grandeur quelconque ne sont jamais situés aux sommets d'un triangle équilatéral ou d'un hexagone régulier.

 

L'intérêt pour les mathématiciens devient tel que de nombreux mathématiciens s'y intéressent, dont le groupe Bourbaki qui a développé un chapitre particulier sur la géométrie des tissus.

 

 

 

Les explications qui suivent sont basées sur les livres d'Édouard Lucas et de sur la thèse d'Anne-Marie Décaillot

  

Échiquier des tissus (ou grille ou matrice)

haut

 

SATIN

Construire l’armure du satin régulier consiste à considérer les cases d'un échiquier  de côté p.

 

Alors, p pions sont disposés de façon telle que deux d’entre eux ne se trouvent pas dans la même rangée horizontale ou verticale (règle du carré latin).

 

Notez que les pions (carrés grisés) sont décochés de (a) cellules en passant à la colonne suivante et, en cas de dépassement de la grille, le pion est placé comme si l'échiquier était enroulé sur un cylindre.

 

Pour réaliser un tissu, le motif est répété par translation de sorte que les pions sont toujours placés de la même façon sur l'ensemble du tissu.

 

Paramétrage

Deux paramètres caractérisent l'armure satin:

*      la taille de l'échiquier carré, le module (p), et

*      le décochement (a) qui définit le cycle de répétition du motif sur la trame (en vertical)

 

Moyen de calcul

Les valeurs de y sont égales à (x · a  mod p).
Exemple (11, 4): en colonne 5, on a:
     5 x 4 = 20 ≡ 9 mod 11

Ce qui correspond aux valeurs successives de y: (0, 4, 8, 1, 5, 9, 2, 6, 10, 3, 7), ce qui est une des permutations des nombres de 0 à 10. Une autre permutation donnera un autre motif

 

 

Satin (p = 11, a = 4)

 

Assemblage 2 x 2

 

 

Décochement et flotté

Le décochement (a < p), saut pour passer à la colonne suivante, est un nombre premier avec p.

Les indices de lignes (y) sont calculés en mod p et les résidus ainsi obtenus constituent une permutation de nombres de 0 à p – 1.

 

Avec p = 11 et a = 4, on obtient la figure indiquée ci-dessus. Les points bleus sont les points de liage. La distance en y entre deux points de liage s'appelle le flotté.

Un satin avec un grand flotté sera fragile et brillant.

 

Deux progressions

Colonnes:
x = {0, 1, 2, …, k, …p–1}

Lignes:
y = {0, a, 2a, …,ka, … (p–1) a} mod p

 

Il n'est pas interdit de donner une progression arithmétique aussi aux colonnes (valeurs de x). Le premier pion est alors placé au point (b, a).

 

 

Calcul des restes (mod)

Dans la progression arithmétique de raison a, les termes divisés par p produisent des restes tous différents.

En effet, prenons deux termes: m·a et n·a qui auraient le même reste en les divisant par p.

Alors (m – n) a serait divisible par p. Comme p et a sont premiers entre eux, cela signifierait que p divise (m – n). Ce qui est impossible car (m – n) est inférieur à p.

On rappelle que m et n ne dépassent pas p – 1.

 

 

Décochement inverse

On note a' le nombre k tel que aa' = 1 mod  p

Sur l'exemple a' = 4. C'est l'inverse de a = 3.

 

 

Exemple avec p = 11 et a  = 3

On retrouve tous les nombres de 0 à 10 en colonne de droite.

 

TOILE

C'est un satin particulier de module p = 2 et de décochement a = 1.

Son motif est en damier.

 

Armature (rouge) et morceau de tissu obtenu

 

 

SERGÉ

C'est un satin particulier de module p > 2 et de décochement a tel que  a = ± 1 mod  p

 

Illustration avec sergé (3, 1)  en haut et (3, 2) en bas

 

 

Les dessins (appelé serges) qui leur correspondent par translation sont symétriques.

 

Deux types de sergé

 

 

Familles de satins

haut

 

Famille

Soit un satin (p, a),

Son complémentaire est (p, p – a)

Son associé est (p, a')

Son associé complémentaire est (p, p – a')

 

Exemple

 

Littéral

Ex1

Ex2

Direct

p, a

11, 7

13, 4

Complém.

p, (p – a)

11, 4

13, 9

Associé

p, a'

11, 8

13, 10

Composé

p, (p – a')

11, 3

13, 3

Composé = associé et complémentaire

 

Observation

Ces quatre armures sont identiques par retournements selon cette illustration:

 

  

 

Satin carré

Un satin est appelé carré lorsque l’inverse de a est confondu avec son opposé, ce qui conduit à l’équation: a² + 1 = 0.

Si p est premier, il doit être de la forme  p = 4n + 1 (p est donc somme de deux carrés). Mais, p peut être composé comme (25, 7 ou 26, 5).

Le satin de module p = 5 et de décochement a = 2 est carré (Illustration)

Celui de module p = 13 et de décochement a = 5.

Ces types de satins passent pour être plus élégants.

 

 

Satin carré (5, 2) – Carré en jaune

 

Satin symétrique

Avec a² – 1 = 0, le satin sera symétrique. Hors toile et sergé, le module devra être composé (8, 3 par exemple).

Les points de liages (case bleues) sont symétriques par rapport à la diagonale principale et invariants par échange trame-chaine.

Le sergé est symétrique et la toile est la seule à être à la fois carrée et symétrique.

 

 

Satin symétrique (8, 3)

 

 

Bilan

Une approche, un petit voyage à travers ce monde des tissus. Il existe évidemment de nombreuses variantes de tissage: avec deux fils, avec des fils de différentes épaisseur, etc.

 

Loin d'être exhaustif ! Vous reporter aux sites spécialisés. Voir les documents en référence. Notamment la thèse d'Anne-Marie Décaillot qui explique en détail les implications de la géométrie des tissus sur la théorie des nombres, allant jusqu'à prouver la loi de la réciprocité quadratique de Gauss (prouvée par E. Lucas. en 1890).
"une démonstration très simple de la loi de réciprocité. Je l’ai trouvée par hasard, dans le tissage"

 

Du côté mathématique, les échiquiers ou grilles sont représentés par des matrices, lesquelles permettent de faire des calculs divers. L'illustration montre un motif obtenu par multiplication de matrices.

 

 

Exemples de tissus (il en existe bien d'autres …)

Toile                Sergé               Satin              Oxford

 

 

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Sites

*      Tissage – Wikipédia

*      Armure – Wikipédia

*      Chaîne et Trame, armures de base – Textilenotion

*      Côtelé, milleraies, ras ou panne : tout savoir sur le velours – Louise magazine couture

*      Application de l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers – Édouard Lucas – Google book accessible

*      Géométrie des tissus, mosaïques, échiquiers – Mathématiques curieuses et utiles – Thèse d'Anne-Marie Décaillot – 2002

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaMaths/Tissus.htm