théorie des nombres - carré ou non

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 24/05/2014 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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CARRÉS & NON - CARRÉS

Comment caractériser un nombre qui est un carré parfait ou non?

But: disposer d'une représentation utile pour effectuer des démonstrations.

Carrés
On peut utiliser la définition du carré: Le carré d'un nombre est égal au produit du nombre par lui-même. Cette définition est valable que le nombre soit un nombre premier ou un nombre composé.	n = a . a = a²
S'il est composé, le nombre peut s'écrire sous la forme de ses facteurs premiers	a = p₁^E1 . p₂^E2 . ... p_m^Em
Et c'est toute cette expression qui est au carré Autrement dit, on peut aussi écrire:	n = a² = (p₁^E1 . p₂^E2 . ... p_m^Em) ² n = a² = p₁^2xE1 . p₂^2xE2 . ... p_m^2xEm
Prenant sa décomposition en facteurs premiers, un carré est un nombre dont tous les exposants sont pairs.	n = a² = p₁^2xE1 . p₂^2xE2 . ... p_m^2xEm

NON-Carrés
Comment représenter un nombre qui n'est pas un carré? À partir de la conclusion ci-dessus, la conclusion est pratiquement évidente
Prenant sa décomposition en facteurs premiers, pour qu'un nombre soit non-carré il suffit que l'un des exposants soit impair. On se souvient qu'un nombre impair est représenté par 2k + 1.		n = p₁^2xE1 . p₂^2xE2 . ... . p_i^{2xEi + 1 .} ... . p_m^2xEm
On peut aussi écrire, en isolant le facteur particulier. B étant le produit de tous les autres facteurs premiers. On note que, bien sûr, p_i étant premier différent des autres, il ne peut pas diviser B.		n = p_i^{2xEi+1 .} B avec p_i B
Exemples

Note: Le symbole "ne divise pas" est une barre verticale barrée;

Cette représentation sert dans la démonstration de l'irrationalité de .

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Carrés

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