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Édition du: 09/12/2023 |
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INDEX |
Triangles rectangles |
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Triangle RECTANGLE Propriétés diverses Propriétés et
curiosités à propos des triangles rectangles; énigmes. |
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Sommaire de cette page >>> Les trois droites du triangle rectangles >>> Progression arithmétique >>> Aire minimale |
Débutants Glossaire |
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Théorème La bissectrice
de l'angle droit du triangle rectangle est aussi la bissectrice de l'angle
formé par la hauteur
et la médiane. |
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Démonstration Simple comparaison des angles.
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Le
triangle rectangle ABC est inscrit dans un
demi-cercle de diamètre AB. Si O est le centre, alors OC est un rayon qui
est égal à OA et à OB. Alors: OB = OC. Le
triangle OBC est isocèle et: angle 2 = angle 3. Dans
le triangle rectangle ABC, les angles 3 et 4 sont complémentaires
(somme égale 90°); même chose pour 1 et 4. |
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Problème Un triangle rectangle. Ses côtes sont trois nombres en progression
arithmétique. Montrer que ces longueurs sont dans
les proportions 3, 4, 5. |
Solution Si les côtés sont en progression
arithmétiques, on passe de l'un à l'autre en ajoutant une même longueur d, et
on obtient les longueurs suivantes : (a – d), a, (a + d)
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Avec le théorème
de Pythagore : |
(a
– d)² + a² = (a + d)² a²
– 2ad + d² + a² = a² + 2ad + d² a² – 4ad = a(a – 4d) = 0
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Pour annuler ce produit, on déduit
que a = 4d. En reportant sur les autres
longueurs :
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a, b, c => 3d, 4d, 5d ▄ |
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Voir Aires
entières (Fermat et descente infinie) / Même
périmètre
Triangles quelconques en progression
arithmétique
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Problème Un triangle rectangle isocèle ABC de
côté unité. Un point D sur l'hypoténuse et ses
projections E et F sur les autres côtés. On considère les aires de AFDE, EDC
et FBD. Montrer qu'il en existe toujours une qui est égale à 2/9 = 0,222… ou
plus. Observations (Figure) Aire ABC = 1/2 x1 x 1 = 0,5 x = 0,4 et y = 0,6 Aire AFDE = 0,24 => 0,24 / 0,50 = 0,48 > 0,22 Aire EDC = 0,08 => 0,08 / 0,5 =
0,16 < 0,22 Aire FBD = 0,18 => 0,18 / 0,50 =
0,36 > 0,22 |
Figure
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Solution – Calcul
algébrique Posons x |
x = AF = ED = EC 1
– x = FB = FD = AE |
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Aires Aire AEDF = x (1 – x) = x – x² Aire EDC = 1/2 x² Aire FBD = 1/2
(1 – x)² Aires minimales selon
x
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Le graphe montre qu'il
existe toujours au moins une des aires supérieure à 2/9 (au-dessus de la zone
rosée).
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On retrouve ce type de propriété pour le parallélogramme dans un
triangle quelconque
Dans
ce cas particulier (triangle de base 1 et hauteur 1), l'aire minimale est aussi
2/9
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Suite |
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Voir |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/TriaRec1.htm
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