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Édition du: 09/12/2023

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Triangle rectangle

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de Pythagore

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Triangle RECTANGLE

Propriétés diverses

 

Propriétés et curiosités à propos des triangles rectangles; énigmes.

 

Sommaire de cette page

>>> Les trois droites du triangle rectangles

>>> Progression arithmétique

>>> Aire minimale

Débutants

Triangle

 

Glossaire

Triangle

 

Les trois droites du triangle rectangles

haut

Théorème

La bissectrice de l'angle droit du triangle rectangle est aussi la bissectrice de l'angle formé par la hauteur et la médiane.

 

 

 

Démonstration

Simple comparaison des angles.

 

 

Le triangle rectangle ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre AB. Si O est le centre, alors OC est un rayon qui est égal à OA et à OB. Alors: OB = OC.

Le triangle OBC est isocèle et: angle 2 = angle 3.

Dans le triangle rectangle ABC, les angles 3 et 4 sont complémentaires (somme égale 90°); même chose pour 1 et 4.

 

 

 

Progression arithmétique

haut

Problème

Un triangle rectangle.

Ses côtes sont trois nombres en progression arithmétique.

Montrer que ces longueurs sont dans les proportions 3, 4, 5.

 

Solution

Si les côtés sont en progression arithmétiques, on passe de l'un à l'autre en ajoutant une même longueur d, et on obtient les longueurs suivantes :

(a – d), a, (a + d)

  

Avec le théorème de Pythagore :

 

(a – d)² + a² = (a + d)²

a² – 2ad + d² + a² = a² + 2ad + d²

a² – 4ad = a(a – 4d) = 0

 

 

Pour annuler ce produit, on déduit que a = 4d.

En reportant sur les autres longueurs :

 

a, b, c => 3d, 4d, 5d

Voir Aires entières (Fermat et descente infinie) / Même périmètre
Triangles quelconques en progression arithmétique

 

 

Aire minimale

haut

 

Problème

Un triangle rectangle isocèle ABC de côté unité.

Un point D sur l'hypoténuse et ses projections E et F sur les autres côtés.

 

On considère les aires de AFDE, EDC et FBD. Montrer qu'il en existe toujours une qui est égale à 2/9 = 0,222… ou plus.

 

Observations (Figure)

Aire ABC = 1/2 x1 x 1 = 0,5

 

x = 0,4 et y = 0,6

Aire AFDE = 0,24 =>  0,24 / 0,50 = 0,48 > 0,22

Aire EDC = 0,08 => 0,08 / 0,5 = 0,16 < 0,22

Aire FBD = 0,18 => 0,18 / 0,50 = 0,36 > 0,22

 

Figure

 

Solution – Calcul algébrique

Posons x

 

 

      x = AF = ED = EC

1 – x = FB = FD = AE

 

Aires

Aire AEDF = x (1 – x) = x – x²

Aire EDC   = 1/2 x²

Aire FBD   = 1/2  (1 – x)²

 

Aires minimales selon x

 

 

 

 

Le graphe montre qu'il existe toujours au moins une des aires supérieure à 2/9 (au-dessus de la zone rosée).

 

 

 

On retrouve ce type de propriété pour le parallélogramme dans un triangle quelconque

Dans ce cas particulier (triangle de base 1 et hauteur 1), l'aire minimale est aussi 2/9

 

 

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