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22 Novembre
2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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INDEX |
Triangles rectangles |
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Triangle RECTANGLE Propriétés diverses Propriétés
et curiosités à propos des triangles rectangles; énigmes. |
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Sommaire de cette page >>> Les trois droites du triangle rectangles >>> Progression arithmétique >>> Aire minimale |
Débutants Glossaire |
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Théorème La
bissectrice
de l'angle droit du triangle rectangle est aussi la bissectrice de l'angle
formé par la hauteur
et la médiane. |
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Démonstration Simple
comparaison des angles.
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Le triangle rectangle ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre AB.
Si O est le centre, alors OC est un rayon qui est égal à OA et à OB. Alors:
OB = OC. Le triangle OBC est isocèle et: angle 2
= angle 3. Dans le triangle rectangle ABC, les
angles 3 et 4 sont complémentaires
(somme égale 90°); même chose pour 1 et 4. |
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Problème Un
triangle rectangle. Ses
côtes sont trois nombres en progression
arithmétique. Montrer
que ces longueurs sont dans les proportions 3, 4, 5. |
Solution Si
les côtés sont en progression arithmétiques, on passe de l'un à l'autre en
ajoutant une même longueur d, et on obtient les longueurs suivantes : (a
– d), a, (a + d)
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Avec
le théorème de
Pythagore : |
(a – d)² + a² = (a + d)² a² – 2ad + d² + a² = a² + 2ad + d² a²
– 4ad = a(a – 4d) = 0
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Pour
annuler ce produit, on déduit que a = 4d. En
reportant sur les autres longueurs : |
a, b, c => 3d, 4d, 5d ▄ |
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Voir Aires entières
(Fermat et descente infinie) / Même périmètre
Triangles quelconques en progression
arithmétique
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Problème Un
triangle rectangle isocèle ABC de côté unité. Un
point D sur l'hypoténuse et ses projections E et F sur les autres côtés. On
considère les aires de AFDE, EDC et FBD. Montrer qu'il en existe toujours une
qui est égale à 2/9 = 0,222… ou plus. Observations (Figure) Aire
ABC = 1/2 x1 x 1 = 0,5 x
= 0,4 et y = 0,6 Aire
AFDE = 0,24 => 0,24 / 0,50 = 0,48
> 0,22 Aire
EDC = 0,08 => 0,08 / 0,5 = 0,16 < 0,22 Aire
FBD = 0,18 => 0,18 / 0,50 = 0,36 > 0,22 |
Figure
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Solution – Calcul
algébrique Posons
x |
x = AF = ED = EC 1 – x = FB = FD = AE |
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Aires Aire
AEDF = x (1 – x) = x – x² Aire
EDC = 1/2 x² Aire
FBD = 1/2 (1 – x)² Aires minimales selon x
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Le graphe montre qu'il existe toujours au moins une des
aires supérieure à 2/9 (au-dessus de la zone rosée).
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On retrouve ce type de propriété pour le parallélogramme dans un
triangle quelconque
Dans
ce cas particulier (triangle de base 1 et hauteur 1), l'aire minimale est aussi
2/9
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Voir |
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