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Sphère terrestre

 

Sommaire de cette page

>>> Sphère et cube inscrit et circonscrit

>>> Sphère et octaèdre inscrit et circonscrit

>>> Volume occupé dans le cube enveloppe

>>> Aire comparées entre sphère et cube

>>> Balle, disque et anneau

 

 

            Sphère, cube et octaèdre

Sphère inscrite et sphère circonscrite

 

Le tableau montre l'aire et le volume de la sphère, du cube et de l'octaèdre.

Il indique le rayon de la sphère inscrite ou circonscrite au cube ou à l'octaèdre. Le calcul détaillé fait l'objet de cette page.

Exemple de lecture: pour un cube de côté unité: la sphère interne (inscrite) aura un rayon de a/2 et la sphère externe (circonscrite) aura un rayon égal à racine de 3 sur 2 = 0,866 ... Même chose pour l'octaèdre de côté unité et les deux sphères.

 

 

 

Sphère et cube inscrit et circonscrit

 

Sphère circonscrite (cube à l'intérieur)

Le cube inscrit dans la sphère est tel que chaque sommet est en contact avec la sphère.

La distance du centre à tout point de la sphère est R; c'est également la longueur de l'arête du petit cube jaune. Le cube inscrit, le grand, à droite, comprend huit petits cubes.

 

 

Calcul

Le rayon R du cercle circonscrit est égal à la grande diagonale d'un cube de côté a:

 

Si la sphère a un rayon R, quel est la longueur L côté du cube inscrit ?

 

Comparaisons

Volumes



Aires

 

 

Cube à l'intérieur: inscrit dans la sphère

ou sphère circonscrite au cube.

 

 

 

 

Sphère inscrite (la sphère est à l'intérieur)

La sphère est en contact avec chaque face du cube (point de tangence).

Une coupe passant par le centre montre que le côté du carré vaut 2R.

En effet, le cercle en rotation autour d'un de ses diamètres engendre la sphère qui reste contenue dans le carré.

 

Dimensions

Aire du cube: 6a² = 6 x 2² = 24

Volume du cube: a3 = 23 = 8

   

 

 Cube à l'extérieur: cisconscrit à la sphère

ou sphère inscrite dans le cube.

Récapitulatif

 

Cas du cube et
de la sphère inscrite

 

Soit une sphère de rayon R, elle occupe 52 % du volume du cube qui l'enveloppe (son côté vaut 2R).

 

Avec les formules

 

Avec les valeurs numériques du tableau ci-dessus

 

Certains voient une relation entre ce rapport et la coudée royale égyptienne qui vaut entre 52 et 54 cm.

 

Merci à François-Joseph pour ses commentaires

 

 

Sphère et octaèdre inscrit et circonscrit

 

Un octaèdre est formé de deux pyramides à base carrés dont les faces sont 2x4 = 8 triangles équilatéraux.

 

 

Sphère circonscrite (Octaèdre à l'intérieur)

La hauteur de la pyramide est égale à R.

La base est le carré inscrit dans le cercle. Son coté vaut:

C'est le côté des triangles équilatéraux dont la hauteur vaut:

Rayon de la sphère circonscrite:



 

 

Sphère inscrite (sphère à l'intérieur)

 

Cette fois la sphère est en contact avec les faces des triangles.

Une coupe verticale qui partage l'octaèdre en deux avec CA et CB les hauteurs de deux faces opposées.

 

Calcul de R

Dans le triangle isocèle-rectangle OAC:

Dans la face ABC (triangle équilatéral), la hauteur vaut:

Les triangles rectangles OAH et GOH sont semblables:

 

Soit la valeur de R:

 

 

 

 

Pour une sphère de rayon unité

Le tableau montre l'encadrement en aire et en volume par l'octaèdre circonscrit ou inscrit.

Avec:

 

 

 

 

Volume occupé dans le cube

La sphère occupe en gros la moitié du cube qui l'enveloppe.

Voir Sphère et cylindre

 

 

 

 

SPHÈRE ou CUBE?

 

À volume V égal, lequel des eux a la plus petite surface A (aire)?

 

Comparaison

 

 

La surface du cube dépasse de 24% celle de la sphère.

 

 

 

Devinette: balle, disque et anneau

La balle, le disque et l'anneau ont le même diamètre.

Sans effet particuliers ni frottements, quel est l'objet qui roule le plus vite sur un plan incliné?

 

La balle a moins d'inertie angulaire, elle a moins de masse en périphérie; elle roule le plus vite.

L'anneau a une masse répartie en périphérie, il roule le plus lentement. Il a une plus grande résistance inertielle.

 

Souvenez-vous du patineur. Il tourne plus vite les bras le long du corps.

 

 

 

 

 

 

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