NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 12/03/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	Raisonnement
Débutants Logique	LOGIQUE & PARADOXES			Glossaire Logique
INDEX Logique	Classiques	Menteur	Achille
		Sommaire de cette page >>> Limite asymptotique >>> Paradoxe >>> Les grecs >>> Solution

ACHILLE & LA TORTUE

Achille ne peut jamais atteindre la tortue!
À moins que …

Il faut avoir assimilé les concepts de l'infini, du zéro et, en résumé, des limites pour résoudre ce paradoxe.

LIMITE ASYMPTOTIQUE
Atterrissage	Principe d'encadrement par dichotomie. Comme l'avion qui atterrit, la courbe asymptotique se rapproche sans cesse d'une ligne droite. À mesure que cette courbe et la ligne convergent, la distance qui les sépare est continuellement divisée de moitié. Mais quel que soit le point atteint, il restera toujours une moitié à faire, et ceci, même à l'infini. Paradoxe de la ligne asymptotique ou Paradoxe d'Achille et la tortue.
Antinomies de Zénon d'Élée Grec, vers 500 avant J.-C.
La flèche n'atteint jamais sa cible	Chaque fois que la flèche a parcouru la moitié de son chemin, il lui en reste une autre moitié à parcourir.
Achille ne rattrape jamais la tortue	La tortue est partie en avance (eh, oui!). Elle est déjà loin lorsqu'Achille se met à courir. Au moment où Achille atteint le point où elle se trouvait, la tortue a fait du chemin. Chaque fois qu'Achille passe par le point où se trouvait la tortue celle-ci, pendant ce temps, progresse …

Voir Nombre 0,5 / Zénon d'Élée

Paradoxe d'Achille et la tortue – Détails

La tortue est déjà en position 1 au départ. Achille va-t-il remonter le handicap ? Achille progresse vers la position 1 et pendant ce temps, la tortue continue son bonhomme de chemin et se trouve en 1 + ½. Illustration Les positions successives de la tortue sont les suivantes La tortue progresse; certes de moins en moins, mais elle progresse. Achille est toujours un coup derrière; certes de moins en moins loin, mais derrière.

Voir Somme des inverses des puissances de 2

LES GRECS
Les Grecs n'avaient pas d'explication à ce paradoxe. La marche continue de la tortue, découpée ainsi en une infinité d'étapes, devait durer toujours. Ou, dit autrement: en un temps fini, Achille ne rattrape jamais la tortue. C'est l'infini qui est la cause du paradoxe. Les Grecs n'avaient pas le zéro pour le résoudre.

Chaque terme est comme un voyage

dont la destination serait zéro

Zéro - La biographie d'une idée dangereuse – Charles SEIFE

SOLUTION

Le premier à formaliser les choses pour éviter le paradoxe est d'Alembert, puis vinrent Cauchy, Bolzano et Weierstrass. L'idée consiste à dire que: Quel que soit l'écart que l'on décide entre Achille et la tortue, il existe une étape pour laquelle Achille et la tortue sont assez proches pour tenir dans cet écart. À l'étape 10, par exemple, il y a 1/1000 d'écart seulement. Mais, en étant encore plus exigeant, il est possible de penser à l'étape 10^100, et même davantage … Le paradoxe disparaît en faisant appel à la notion de limite. Une étape quelconque représente une série de pas. Elle représente une distance finie pour exprimer le devenir de cette série, ces mathématiciens ont eu recours à une notation particulière: la limite Voir Nombre 2 C'est une manière de calculer qui évite de manipuler les dangereux infinis et zéro.

Suite en Infinitésimaux

Voir	Paradoxes classiques Logique – Index Démonstration La balle qui rebondit
	Anniversaires Crises en maths Ensemble – Glossaire Intelligence artificielle Jeux– Index Logique formelle Outils de la logique Phrases en autoréférences QI Raisonnement Triangles conjugués – Convergence
Site	Paradoxes
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/LogForm/Achille.htm