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Édition du: 15/01/2020 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Polygones Géométrie Jeux et énigmes	Géométrie – OCTOGONE
	Général	Calculs	Octogone dans le parallélogramme

OCTOGONE & Parallélogramme Avec les milieux des côtés du parallélogramme, on forme une figure centrale qui compte huit côtés. On démontre que l'aire de cet octogone est exactement 1/6 de l'aire du parallélogramme initial. Voir Parallélogrammes partagés – Calcul d'aire
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Présentation	haut
Aire du parallélogramme: Ap = 10 x 6 = 60 Aire de l'octogone central: Ao = 10 = Ap / 6 (valeur à justifier)

Aire de l'octogone – Encadrement		haut
Ce quadrillage pointillé découpe la figure en 64 petits parallélogrammes d'aire a, avec a = Ap/64. Pour l'octogone en bleu, on constate cet encadrement: 4a < Ao < 16a Par rapport à l'aire du grand parallélogramme: Comment parfaire cette évaluation ?	L'aire de l'octogone en bleu est encadrée par 4 (min) et 16 (max) petits parallélogrammes en pointillés.

Zoom sur un quart de l'octogone			haut
En zoomant sur un quart de la figure: haut-gauche, on fait apparaitre quatre quadrilatères composant un quart de notre octogone. En rose: le parallélogramme valant a = 1/64 Ap En vert: deux trapèzes dont l'aire est évaluée en divisant encore par deux: T = 3 x a/4 = 3/4 a 2T = 3/2 a = 3/2 x 1/64 Ap = 3/128 Ap En bleu: pas facile à évaluer !
Astuce, issue d'un peu d'observation … sans doute détectable sur le graphique ci-contre. En effet, ce quadrilatère bleu foncé est semblable (homothétique) au quadrilatère bleu clair. Aire du quadrilatère bleu clair = 1/4 de l'octogone central = 1/4 Ao Aire du quadrilatère bleu foncé: chaque dimension est divisée par 4; l'aire est divisée par 16; Abf = 1/16 (1/4 Ao) = 1/64 Ao

Aire de l'octogone		haut
Aire centrale rose totale
Aire latérale verte
Aire quadrilatère bleu
Aire octogone: somme de ces trois aires.
Calcul

Cas du carré: octogone régulier

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