NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Type de nombres

 

Débutants

Fraction

FRACTIONS

de somme égale à 1

 

Glossaire

Fraction

 

 

INDEX

Calcul

Approche

Exploration

Ordres 2, 3 & 4

Plus petite fraction

Propriétés

Ordre 5

Nombres bons

Jusqu'à 100

Ordre 6

 

Sommaire de cette page

>>> Principe

>>> Calculs

>>> Table

 

 

 

FRACTIONS

Somme = 1

 

Plus petite fraction

 

 

 

 

PRINCIPE

 

2 fractions

*      La distance couverte par deux segments de 1/2 donne 1.

1/2

1/2

 

*      La fraction plus petite qui suit 1/2 est 1/3.

*      La distance juste inférieure à 1 couverte par 2 fractions est donc:

1/2

1/3

 

 

3 fractions

*      Cherchons à couvrir l'espace qui reste par une fraction

1/2

+ 1/3

+ 1/3

= 1,16

 

 

+ 1/4

= 1,08

 

 

+ 1/5

= 1,03

1/2

+ 1/3

+ 1/6

= 1

 

1/2

1/3

1/6

 

 

*      Il est aussi évident que l'on aurait pu le calculer:

1/2 + 1/3

= (3 + 2) / 6

= 5/6

1 – 5/6

= 1/6

 

4 fractions

*      Pour créer un trou le plus petit possible,

il faut prendre la fraction suivant 1/6 soit 1/7.

 

1/2

+ 1/3

+ 1/6

= 1

 

 

 

+ 1/7

= 0,97

Écart:  1/42

 

*      Autrement dit:

1/2

1/3

1/7

1/42

 

*      La suivante sera 1/43.

*      Etc.

 

 

 

 

CALCULS

 

Somme

Termes

 

 

 

 

 

Plus petite

fraction

Ordre 2

 

2

2

Termes pour obtenir la somme 1

Somme 1

1

0,5

0,5

Inverses et en tête la somme de ces inverses

 

 

2

3

Termes pour obtenir la somme juste inférieure à 1

Somme <1

0,833

0,5

0,333

Inverses …

1/ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ordre 3

 

2

3

6

 

 

 

 

Somme 1

1

0,5

0,333

0,167

 

 

 

 

 

 

2

3

7

 

 

 

 

Somme <1

0,976

0,5

0,333

0,143

 

 

 

1/ 42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ordre 4

 

2

3

7

42

 

 

 

Somme 1

1

0,5

0,333

0,143

0,024

 

 

 

 

 

2

3

7

43

 

 

 

Somme <1

0,999

0,5

0,333

0,143

0,023

 

 

1/ 1 806

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ordre 5

 

2

3

7

43

1806

 

 

Somme 1

1

0,5

0,333

0,143

0,023

0,001

 

 

 

 

2

3

7

43

1807

 

 

Somme <1

0,9999997

0,5

0,333

0,143

0,023

0,001

 

1/ 3 263 442

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ordre 6

 

2

3

7

43

1807

3263442

 

Somme 1

1

0,5

0,333

0,143

0,023

0,001

0,00000031

 

 

 

2

3

7

43

1807

3263443

 

Somme <1

0,999…

0,5

0,333

0,143

0,023

0,001

0,000

1/ 10 650

056 950 806

 

 

 

 

TABLE

Plus petite fraction

En puissance  de 10

1/2

 

1/3

 

1/ 6

 

1/ 42

 

1/ 1 806

 

1/ 3 263 442

1 / 3,26… 106

1/ 10 650 056 950 806

1 / 1,06… 1013

1/ 113 423 713 055 421 844 361 000 442

1 / 1,13… 1026

1/ 128 6493868327

8671740537 1459983609 6154665325 9485195806

1 / 1,28… 1052

1/ 16550 6647324519 9641984681

9544443918 0017513152 7063774978 4185138876

6535868639 5724068089 1198813173 7645185442

1/ 1,65… 10104

1/ 273924503

0860303142 3410234291 6746862811 9436436758

0914627947 3679416086 9202622699 3634332118

4045824386 3492954873 7283992369 7584879743

0631773058 0753883429 4603449564 1007703476

1330476016 7394546498 2838554150 0213920806

 

1/ 2,73… 10208

Etc.

 

 

 

Ce que veut dire cette table

 

*      La somme cumulée d'une quantité quelconque de ces fractions avec une petite précaution donne 1

 

Exemples

1 =

1/2 + 1/3 + 1/6

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/ 1806

1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/ 1807 + 1/ 3 263 442

Etc.

 

*      Noter, l'incrémentation de l'avant-dernière fraction au passage à la ligne suivante (rouge + 1 = vert).

 

 

 

 

Suite

*    Nombres bons

Voir

*    Fractions

*    Fractions égyptiennes

*    Fractions continues

*    Table des fractions égyptiennes

DicoNombre

*    Nombre 1