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Édition du: 24/05/2025

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INDEX

 

Somme-Produit Ch

Nombres en chiffres

Types de nombres

Algèbre

Égalités

Égalités

Équations

Somme et produit

S1 = S2 & P1 = P2

Sommes et Produits avec diviseurs

 

 

Sommes et produits identiques

avec les diviseurs

 

Considérant les diviseurs d'un nombre et parmi les combinaisons de trois d'entre eux, on cherche ceux ayant à la fois la même somme et le même produit.

Le tableau donne l'exemple du nombre 28 avec les deux triplets de diviseurs T1 et T2. On a les égalités suivantes:

S = 1 + 8 + 12 = 2 + 3 + 16 = 21

P = 1 × 8 × 12 = 2 × 3 × 16 = 96

  

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Liste

>>> Florilège

>>> Programmation

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Cousins

Nombres recenseurs

(sommes et produits avec des nombres) >>>

 

Nombres dont le produit de trois facteurs peut s'exprimer de deux façons et tels que les deux sommes de ces trois facteurs soient égales.

 

n = P = 72 = 2 × 6 × 6 = 3 × 3 × 8

                S = 2 + 6 + 6 = 3 + 3 + 8 = 14

 

Les facteurs des produits peuvent être multiples

La paire de triplets est unique.

Nombres sommes-produits-diviseurs identiques

(sommes et produits avec les diviseurs) >>>

 

Nombres tels que deux triplest de diviseurs produisent la même somme et le même produit.

 

Diviseurs de 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36}

P = 2 × 8 × 9 = 3 × 4 × 12 = 144

S = 2 + 8 + 9 = 3 + 4 +× 12 =  19

 

Les facteurs des produits sont distincts.

Plusieurs paires de triplets autorisées.

 

 

Approche

haut

 

Exemple avec le nombre 176

On connait sa factorisation F.

On connait la liste de ses diviseurs propres (D'), sans y inclure le nombre lui-même.

 

Parmi toutes les sommes de trois diviseurs, il en existe une qui se produit deus fois tout en créant le même produit.
1 + 11 + 16 = 2 + 4 + 22 = 28
1
× 11 × 16 = 2 × 4 × 22 = 176

 

Nous avons ainsi deux triplets de   diviseurs (T1 et T2)  avec même somme (28) et même produit (176).

 

 

Exemple avec le nombre 72

Avec ce nombre, les égalités existent deux fois.

 

Exemple avec le nombre 735

Un exemple avec un nombre impair, cas moins fréquent qu'avec les nombres pairs.

 

 

 

Liste

haut

 

Liste de 1 à 1000

Nombres k fois double-triplets de mêmes sommes et mêmes produit de ses diviseurs.

 

Exemple avec 72 (explicité plus haut): il est deux fois triplets et noté [72, 2].

 

En rouge, les nombres impairs.

 

[48, 1], [60, 2], [72, 2], [84, 2], [90, 2], [96, 2], [100, 1], [120, 8], [126, 1], [140, 1], [144, 8], [168, 5], [176, 1], [180, 15], [192, 4], [198, 2], [200, 2], [210, 3], [216, 5], [240, 25], [252, 10], [260, 1], [264, 2], [270, 7], [280, 5], [288, 16], [294, 1], [300, 8], [312, 1], [315, 1], [320, 1], [324, 1], [330, 3], [336, 18], [350, 1], [352, 2], [360, 57], [378, 3], [384, 6], [390, 1], [396, 4], [400, 3], [408, 1], [420, 35], [432, 19], [440, 3], [448, 1], [450, 8], [462, 3], [468, 2], [480, 47], [500, 2], [504, 40], [510, 2], [520, 2], [528, 9], [532, 1], [540, 41], [546, 3], [550, 1], [560, 15], [567, 1], [570, 2], [576, 26], [585, 1], [588, 7], [594, 5], [600, 32], [612, 2], [616, 1], [624, 7], [630, 34], [640, 2], [648, 11], [650, 1], [660, 19], [672, 35], [675, 1], [680, 1], [684, 1], [690, 1], [700, 8], [704, 4], [714, 1], [720, 146], [735, 1], [736, 1], [756, 29], [765, 2], [768, 8], [770, 3], [780, 15], [784, 2], [792, 22], [800, 5], [810, 13], [816, 6], [819, 1], [828, 3], [840, 122], [855, 1], [858, 1], [864, 41], [880, 10], [882, 5], [896, 2], [900, 60], [912, 4], [918, 2], [924, 16], [936, 17], [945, 4], [952, 1], [960, 74], [968, 1], [972, 2], [975, 1], [980, 3], [988, 1], [990, 27], [1000, 4], …

 

 

Records jusqu'à 10 000

Dans cette liste, le nombre suivant présente plus de triplets que le précédent.

   

[48, 1], [60, 2], [120, 8], [180, 15], [240, 25], [360, 57], [720, 146], [1080, 148], [1260, 196], [1440, 267], [1680, 318], [2160, 370], [2520, 641], [4320, 692], [5040, 1519], [7560, 1668], 

 

Liste stricte

Cette liste est donnée en OEIS A334911. Elle diffère de celle donnée ci-dessus pour deux raisons:

*      Elle ne considère que les cas de triplets unique; et

*      Elle admet la multiplicité des diviseurs. Ainsi 36 =>
S = 1 + 6 + 6 = 2 + 2 + 9 = 13
P =
 1 × 6 × 6 = 2 × 2 × 9 = 36

   

 

36, 40, 72, 96, 126, 176, 200, 225, 234, 252, 280, 297, 320, 408, 520, 550, 576, 588, 600, 648, 690, 714, 735, 736, 768, 780, 784, 816, 850, 855, 896, 945, 972, 1026, 1040, 1064, 1092, 1160, 1188, 1216, 1242, 1248, 1275, 1280, 1296, 1300, 1350, 1404, 1530

 

 

Florilège

haut

 

Pairs

 

 

 

Impairs

Avec anagramme

 

 

 

Programmation Maple

haut

 

But

Identifier les triplets de diviseurs ayany mêmes sommes et mêmes produit.

 

Commentaires

Appel aux logiciels de combinatoire et de théorie des nombres.

La liste F contient les diviseurs de n sauf n.

La liste G contient toutes les combinaisons de trois de ces diviseurs. Pour chacune (g) on calcule le produit (m) et la somme (s). Ces valeurs sont mémorisées dans la liste H qui va être triée par ordre croissant (sort).

Cette liste de [produit-somme] est analysée à l'aide de deux boucles pour détecter les égalités. Si c'est le cas, impression du couple somme-produit.

Un retraitement en forçant l'impression des triplets de diviseurs permet de reconnaitre ceux concernés. Il n'est pas difficile de programmer la recherche correspondante.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

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