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Édition du: 07/05/2021

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Égalités

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Somme et produit

S1 = S2 & P1 = P2

 

 

Égalités entre SOMMES

                 et entre PRODUITS

 

Deux ensembles de nombres: les sommes sont égales et les produits sont égaux.

Résoudre: nécessite un peu d'astuce en présence de somme et de produit.

Existence des solutions entières ?

 

Sommaire de cette page

>>> Cas de deux couples

>>> Cas de deux triplets

>>> Liste de solutions

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

Cas de deux couples

haut

 

On établit l'égalité de base et on en déduit deux égalités qui vont servir pour la suite.

a + b = c + d

ab = cd

 

d – b = a – c

 

 

On calcule à partir de la première équation en remplaçant b pas sa valeur (colonne de gauche), puis d par sa valeur (colonne de droite).

On calcule.

 

La réponse est sans appel. Seule possibilité les couples sont égaux.

 

 

d = a

 

b = c

 

 

Cas de deux triplets

haut

 

Même procédé de résolution que ci-dessus.

On cherche à exprimer deux variables à partir des quatre autres.

a + b + c = d + e + f

 

abc = def

 

f – c = a + b – d – e  = X

 

On note Y = ab – de

 

 

Le calcul  montre qu'il existe toujours une solution rationnelle (fraction).

 

 

 

 

Exemple fractions

a = 2, b = 3, d = 4 et e = 5

X = -4 et  Y = -14

c= 40/7 et f = 12/7

 

2 + 3 + 40/7 = 75/7

4 + 5 + 12/7 = 75/7

2 x 3 x 40/7 = 240/7

4 x 5 x 12/7 = 240/7

 

 

Exemple entiers

a = 2, b = 3, d = 10 et e = 9

X = -14 et Y = -84

c = 15 et f = 1

 

2 + 3 + 15 = 20

10 + 9 + 1 = 20

2 x 3 x 15 = 90

10x 9 x 1 = 90

 

 

 

Liste de solutions

haut

 

 

 

Quelques solutions pour a , b, d et e de 1 à 10.

 

Exemple (première ligne)

1 + 6 + 6 = 2 + 9 + 2 = 13

1 x 6 x 6 = 2 x 9 x 2 = 36

 

La ligne suivant présente des nombres tous différents.

a          b       c         d         e         f          S         P

1          6        6         2         9         2         13       36

1          5        8         2         10       2         14       40

2          6        6         3         8         3         14       72

2          3        15       1         9         10       20       90

2          5        9         3         10       3         16       90

2          3        16       1         8         12       21       96

2          3        21       1         7         18       26       126

3          4        12       2         8         9         19       144

3          6        8         4         9         4         17       144

3          4        14       2         7         12       21       168

2          4        25       1         10       20       31       200

3          5        16       2         10       12       24       240

4          5        12       3         8         10       21       240

3          5        18       2         9         15       26       270

2          4        36       1         9         32       42       288

4          6        15       3         10       12       25       360

5          6        12       4         9         10       23       360

5          8        9         6         10       6         22       360

4          5        21       3         7         20       30       420

4          6        18       3         9         16       28       432

3          5        32       2         8         30       40       480

5          6        16       4         8         15       27       480

3          6        30       2         10       27       39       540

5          7        16       4         10       14       28       560

6          7        15       5         9         14       28       630

4          7        30       3         10       28       41       840

7          8        15       6         10       14       30       840

6          8        25       5         10       24       39       1200

5          7        36       4         9         35       48       1260

 

 

 

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