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Édition du: 23/10/2022 |
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INDEX |
Égalités |
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Égalités entre SOMMES et entre PRODUITS
Résoudre:
nécessite un peu d'astuce en présence de somme et de produit. Existence des
solutions entières ? |
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Sommaire de cette page >>> Cas de deux couples >>> Cas de deux triplets >>> Liste de solutions |
Débutants Glossaire |
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On
établit l'égalité de base et on en déduit deux égalités qui vont servir pour
la suite. |
a + b = c + d ab = cd |
d – b = a – c
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On
calcule à partir de la première équation en remplaçant b pas sa valeur
(colonne de gauche), puis d par sa valeur (colonne de droite). On
calcule. La
réponse est sans appel. Seule possibilité les couples sont égaux. |
d = a |
b = c |
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Même
procédé de résolution que ci-dessus. On
cherche à exprimer deux variables à partir des quatre autres. |
a + b + c = d + e + f abc = def |
f – c = a + b – d – e = X
On note Y = ab – de |
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Le
calcul montre qu'il existe toujours
une solution rationnelle (fraction). |
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Exemple fractions a = 2, b
= 3, d = 4 et e = 5 |
X = -4 et
Y = -14 c= 40/7 et f = 12/7 |
2 + 3 + 40/7 = 75/7 4 + 5 + 12/7 = 75/7 2 x 3 x 40/7 = 240/7 4 x 5 x 12/7 = 240/7 |
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Exemple entiers a = 2, b
= 3, d = 10 et e = 9 |
X = -14 et Y = -84 c = 15 et f = 1 |
2 + 3 + 15 = 20 10 + 9 + 1 = 20 2 x 3 x 15 = 90 10x 9 x 1 = 90 |
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Quelques
solutions pour a , b, d et e de 1 à 10. Exemple (première ligne) 1 + 6 + 6
= 2 + 9 + 2 = 13 1 x 6 x 6
= 2 x 9 x 2 = 36 La ligne
suivant présente des nombres tous différents. |
a b c d e f S P 1 6
6 2 9 2 13 36 1 5
8 2 10 2 14 40 2 6
6 3 8 3 14 72 2 3
15 1 9 10 20 90 2 5
9 3 10 3 16 90 2 3
16 1 8 12 21 96 2 3
21 1 7 18 26 126 3 4
12 2 8 9 19 144 3 6
8 4 9 4 17 144 3 4
14 2 7 12 21 168 2 4
25 1 10 20 31 200 3 5
16 2 10 12 24 240 4 5
12 3 8 10 21 240 3 5
18 2 9 15 26 270 2 4
36 1 9 32 42 288 4 6
15 3 10 12 25 360 5 6
12 4 9 10 23 360 5 8
9 6 10 6 22 360 4 5
21 3 7 20 30 420 4 6
18 3 9 16 28 432 3 5
32 2 8 30 40 480 5 6
16 4 8 15 27 480 3 6
30 2 10 27 39 540 5 7
16 4 10 14 28 560 6 7
15 5 9 14 28 630 4 7
30 3 10 28 41 840 7 8
15 6 10 14 30 840 6 8
25 5 10 24 39 1200 5 7
36 4 9 35 48 1260 |
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