NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 28/10/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Seconde	Sommaire de cette page >>> Le problème posé >>> Mise en place du repère >>> Le triangle est isocèle Aire du triangle >>> Méthode rapide pour se faire une idée >>> Méthode analytique 1: Classique >>> Méthode analytique 2: Formule >>> Méthode analytique 3: Déterminant

Aire du TRIANGLE

Calcul à partir des coordonnées des sommets

À partir d'un exercice, examen de trois méthodes analytiques de calcul de l'aire d'un triangle quelconque.

Anglais: how to find the area of a triangle given three vertices?

Area of a triangle by formula – Coordinate geometry

Voir Aire du triangle – Toutes les formules

Le problème posé
Données Carré ABCD et son centre O; Point I symétrique de A par rapport à B; Point J symétrique de D par rapport à A; et Triangle OIJ. Questions En utilisant le repère orthonormé (A; B, D): Montrer que le triangle OIJ est isocèle. Aire du triangle OIJ.

Mise en place du repère
Repère orthonormé (A; B,D) Origine en A; Vecteur unité AB pour les abscisses (x); et Vecteur unité AD pour les ordonnées (y); Coordonnées des points Indication sur la figure des coordonnées des points utiles. Le point H Le point H, milieu du segment IJ, a été introduit. Quelle est sa propriété ? Le triangle étant isocèle (on va le démontrer), le segment OH est une des hauteurs du triangle isocèle (et aussi, médiane, médiatrice et bissectrice de l'angle en O) >>>

Le triangle OIJ est isocèle
Observation On note tout de suite que => Mais il faut montrer cette égalité avec un calcul utilisant les coordonnées.	Pour le segment OI: longueur en x = 1,5 et longueur en y = 0,5. Pour le segment OJ: longueur en x = 0,5 et longueur en y = 1,5. Ce sont les mêmes valeurs (symétriques) => OI = OJ. Le triangle OIJ est bien isocèle.
Longueur de OI (Théorème de Pythagore)	= (2 – 1/2)² + (0 – 1/2)² = (3/2)² + (–1/2)² = 5/2
Longueur de OJ	= (0 – 1/2)² + (–1 – 1/2)² = (–1/2)² + (–3/2)² = 5/2
Conclusion	Deux des côtés du triangle OIJ sont égaux, il est isocèle en O.

Aire du triangle – Méthode rapide pour se faire une idée
Base IJ du triangle OIJ (avec Pythagore)	IJ² = 1² + 2² = 5 En lisant les longueurs sur la figure
Hauteur OH (H milieu de IJ)	OH² = 1² + (1/2)² = 5/4
Aire	A = ½ IJ x OH = ½ √5 x √5/2 = 5/4 = 1,25
Je me rassure avec le logiciel GeoGebra Confirmation que l'aire vaut un quart de plus que l'aire du carré unité. En passant, on vérifie que OJ et IO mesurent: 1,58 comme nous l'avions trouvé plus haut. On note également les coordonnées du point H (1, –1/2).

Aire du triangle – Méthode analytique 1: Classique
La méthode 1 utilise cette méthode classique: aire = ½ côté x hauteur
Aire du triangle OIJ	A = ½ IJ x OH On a vu que OH est la hauteur du triangle isocèle issue de O.
Longueur de IJ (carré)	= (0 – 2)² + (–1 – 0)² = 2² + 1² = 5
Coordonnées du point H	XH = ½ (XI – XJ) = ½ (2 – 0) = 1 YH = ½ (YI – YJ) = ½ (0 – 1) = –1/2
Longueur de OH (carré)	= (1 – 1/2)² + (–1/2 – 1/2)² = (1/2)² + (-1)² = 1/4 + 1 = 5/4
Aire

Aire du triangle – Méthode analytique 2: Formule
Cette méthode est du niveau lycée (seconde). Son emploi direct pour la résolution d'un exercice est possible si elle a été vue en cours. Sinon, sa démonstration est nécessaire. Elle est simple via le calcul de l'aire de trois trapèzes >>>.
Formule de l'aire d'un triangle connaissant les coordonnées des sommets
Avec les valeurs numériques	A = ½ {1/2 (0 – (–1)) + 2 ((–1) – 1/2) + 0 (1/2 – 0)} = ½ { 1/2 – 3 + 0 } = –1/2 x 5/2 = –5/4 A = 5/4 (la valeur positive)

Aire du triangle – Méthode analytique 3: déterminant
Cette méthode est d'un niveau supérieur. Elle suppose la connaissance des matrices. Elle connue pour donner l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs.
Formule de l'aire d'un triangle connaissant deux vecteurs comme côtés.
Avec les valeurs numériques

Retour	Calcul analytique d'une intersection
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Voir	Équation de la droite Fonction affine Géométrie – Index Ovales de Cassini Rectangle
Site	Calculateur de l'aire du triangle – Math Open Reference
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/GeomAnal/Triangle.htm