passerelle sur bassin

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Traversée d'un plan d'eau

avec des planches

Château et douves / Île et pont / Rivière et planche

Avec une planche solide posée sur les deux berges, je franchis la rivière. Même chose pour un bassin pour rejoindre le terre-plein central.

Un problème amusant consiste à voir si je peux minimiser la longueur des planches. Oui, je peux, avec une solution astucieuse, mais la longueur ne diminue pas autant qu'on le pense.

Anglais a castle is surrounded by a 5 meters wide, rectangular moat.

Can you cross using nothing except two planks that are 4,8 meters long.

Problème

Problème 1

Imaginez un carré central de 5 m de côté au milieu d'un bassin d'eau lui-même un carré de 15 m de côté. Je souhaite passer au centre sans me mouiller. Je dispose d'une planche (madrier). Quelle est sa longueur minimale?

Solution 1

Je place ma planche d'un bord à l'autre: soit 5m de long, ou un plus, de quoi la poser sur les bords.
Solution facile!

Problème 2

Hélas, je ne dispose pas de planche de 5m de long.

Mais quelle est la longueur minimale requise avec deux planches utilisées astucieusement?

Voir Solution / Brève 53-1050

Solutions
Idée géniale! Avec deux planches plus courtes que les 5 m nécessaires pour un passage direct, j'établis un passage. Mais quelle est la longueur minimale de ces deux planches? J'appelle x la longueur à partir du coin du bassin jusqu'au point de dépose de la planche en biais. Note: on néglige toujours la largeur de la planche. Le calcul serait un peu plus compliqué mais ne changerait pas fondamentalement le résultat théorique.
Longueur de la planche en travers:
Longueur de l'autre planche = diagonale du grand carré – ½ diagonale du petit carré:
Pour x = 0, soit une seule planche (D):
Pour x = 10, soit une seule planche (d):
En passant de x= 0 à x = 10, Une des longueurs croit lorsque l'autre décroit. Elles ont même longueur pour:
Longueur des planches:
On constate que malgré tout la planche doit être proche des 5 mètres ! La réduction de la longueur n'est que de 6%.
Par exemple, pour une distance de 1 mètre, à la place des 5 m, les deux planches devront mesurer:	100 cm – 6% de 100 cm = 100 – 6 = 94 cm