Triangles semblables

Édition du: 30/09/2023

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Brèves de Maths

INDEX

Triangle

Types de Triangles – Mesures

Types

Égaux (isométriques)

Semblables (homothétiques)

Semblables et isométriques (examen détaillé)

Triangles semblables

Triangles qui semblent de la même famille car ils ont les mêmes angles, mais pas les mêmes dimensions.

Il suffit que deux angles soient égaux pour que le troisième le soit aussi, car la somme des trois vaut toujours 180°.

Sommaire de cette page

>>> Approche et définition

>>> Détermination des cas de similitude

>>> Propriétés

>>> Théorèmes dont Pythagore

>>> Exemple d'application

>>> Le carré barré

Débutants

Transformations

Glossaire

Similitude

Homothétie

Approche et définition		haut
Approche Sur cette figure, les triangles de gauche ont des côtés inégaux, cependant les trois angles sont égaux. Ces deux triangles ont semblables. Effet de grossissement, de zoom. À droite, les deux triangles n'ont ni les mêmes angles ni les mêmes côtés; ils sont distincts.
Définition Deux triangles sont semblables si les trois angles sont égaux (en fait, il en suffit de deux). On dit: Les triangles semblables possèdent des angles homologues isométriques et des côtés homologues proportionnels.

Trois cas de similitudes

Voir Propriétés des triangles

Détermination des cas de similitude		haut
CAS AA (deux angles) Anglais: AA (angles) Les deux triangles (jaune et vert) sont semblables car ils ont leurs angles deux à deux égaux. Le troisième angle vaut 180 – 50 – 70 = 60° Configuration classique Un angle formé par deux demi-droites. Deux sécantes parallèles. Elles découpent des angles égaux par rapport aux demi-droites. Ces deux triangles sont semblables.
CAS CCC (trois côtés) Anglais: SSS (sides) Les côtés homologues de ces deux triangles ont des longueurs de même proportion (ici, k = 2): 10 / 5 = 2 8,24 / 4,12 = 2 11,30 / 5,65 = 2 Ces deux triangles sont semblables.
CAS CAC (deux côtés et angle) Anglais: SAS (side-angle-side) Deux côtés homologues de ces deux triangles sont proportionnels: 9,72 / 4, 86 = 2 14 / 7, = 2 L'angle formé par ces deux côtés est identique: 60° Ces deux triangles sont semblables.

Propriétés

haut

Les longueurs sont proportionnelles
(rapport k)

côtés

hauteurs et médianes

périmètre

Les triangles restent de même nature

isocèle, équilatéral, rectangle …

Les aires sont proportionnelles dans le rapport k².

Sur la figure le rapport de similitude k = 2

L'aire du grand triangle est quatre fois celle du petit.

Anglais

if two triangles are similar, their areas are the square of that similarity ratio (scale factor)

Illustration du rapport 4

Longueur k = 2

Aire k = 4

Le triangle jaune peut contenir

quatre triangles comme le bleu.

Théorèmes		haut
Théorème du partage du triangle Soit un triangle quelconque ABC et une parallèle DE à l'un des côtés, alors: E effet, les triangles bleu et jaune sont semblables. C'est le théorème de Thalès appliqué aux deux triangles semblables bleus avec ensuite DF = EB
Cas de trois triangles rectangles Soit un triangle rectangle ABC de côtés (a, b, c). On forme deux triangles semblables en menant deux parallèles à BC avec distances a et b à partir du point A. Nous allons retrouver le théorème de Pythagore. Notons x, y et p les segments et relevons les proportions: Triangle bleu et triangle vert: Triangle bleu et triangle jaune: On duplique le triangle jaune pour l'apposer au vert par le côté commun p. L'angle en A est droit du fait de la complémentarité des angles dans le triangle rectangle. Les côtés x et y son alignés pour la même raison. Les triangles réunis jaune et vert forment un triangle rectangle identique au grand triangle bleu ABC (même mesures des côtés a et b. Son hypoténuse est égale à c, laquelle est aussi égale à x + y. En reprenant nos proportions: La dernière figure montre les trois triangles rectangles semblables dans leur version classique.	Théorème de Pythagore

Voir Théorème de Pythagore généralisé aux figures semblables

Exemple d'application

haut

Construction

Un rectangle et un triangle rectangle.

Avec les deux mesures indiquées retrouver la valeur de x.

Solution

Voir Théorème de Pythagore

Le carré barré		haut
Construction Un carré bleu et une sécante qui est découpée dans les proportions 1, 2 et 3 avec le prolongement des côtés. Quelle est l'aire du carré ? Pistes Sur cette figure, on distingue trois triangles rectangles semblables d'hypoténuse 1, 2 et 3. Les longueurs des côtés de ces triangles sont proportionnelles. Les côtés du carré sont découpés selon ces mêmes proportions: 1/6, 2/6 et 3/6. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle vert dont un des côtés vaut 2/6 du côté du carré, soit c/3.
Calculs

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Voir	Triangle – Index Types de triangles Égalité en géométrie Isométrie
Sites	Theorems about Similar Triangles – Math is fun
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