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22 Novembre
2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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INDEX |
Types de Triangles – Mesures |
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Égaux
(isométriques) |
Semblables
(homothétiques) |
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Semblables
et isométriques (examen détaillé) |
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Triangles semblables
Triangles
qui semblent de la même famille car ils ont les mêmes angles, mais pas les mêmes
dimensions. Il suffit
que deux angles soient égaux pour que le troisième le soit aussi, car la
somme des trois vaut toujours
180°. |
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Sommaire de cette page >>> Approche et définition >>> Détermination des cas de similitude >>> Propriétés >>> Théorèmes dont Pythagore >>> Exemple d'application >>> Le carré barré |
Débutants Glossaire |
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Approche Sur cette
figure, les triangles de gauche ont des côtés inégaux, cependant les trois
angles sont égaux. Ces deux triangles ont semblables. À droite,
les deux triangles n'ont ni les mêmes angles ni les mêmes côtés; ils sont distincts. |
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Définition Deux
triangles sont semblables si les trois angles sont égaux (en fait, il en
suffit de deux). On dit: Les
triangles semblables possèdent des angles homologues isométriques et des
côtés homologues proportionnels. |
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Trois
cas de
similitudes
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CAS AA (deux angles) Anglais: AA (angles) Les deux
triangles (jaune et vert) sont semblables car ils ont leurs angles deux à
deux égaux. Le troisième
angle vaut 180 – 50 – 70 = 60° Configuration classique Un angle
formé par deux demi-droites. Deux
sécantes parallèles. Elles découpent des angles égaux par rapport aux
demi-droites. Ces deux
triangles sont semblables. |
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CAS CCC (trois côtés) Anglais: SSS (sides) Les côtés homologues
de ces deux triangles ont des longueurs de même proportion (ici,
k = 2): 10 / 5 = 2 Ces deux triangles
sont semblables. |
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CAS CAC (deux côtés et angle) Anglais:
SAS (side-angle-side) Deux côtés homologues
de ces deux triangles sont proportionnels: 9,72 / 4, 86 = 2 14 / 7, = 2 L'angle
formé par ces deux côtés est
identique: 60° Ces deux
triangles sont semblables. |
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Les
longueurs sont proportionnelles
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Les
triangles restent de même nature
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Les aires sont
proportionnelles dans le rapport k². Sur la
figure le rapport de similitude k = 2 L'aire du
grand triangle est quatre fois celle du petit. Anglais
Illustration
du rapport 4 Longueur k
= 2 Aire k = 4 Le triangle jaune peut contenir quatre triangles comme le bleu. |
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Théorème du partage du triangle Soit un
triangle quelconque ABC et une parallèle DE à l'un des côtés, alors:
E effet, les
triangles bleu et jaune sont semblables. C'est le théorème de Thalès
appliqué aux deux triangles semblables bleus avec ensuite DF = EB |
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Cas de trois triangles rectangles Soit un
triangle rectangle ABC de côtés (a, b, c). On forme
deux triangles semblables en menant deux parallèles à BC avec distances a et
b à partir du point A. Nous allons
retrouver le théorème de
Pythagore. Notons x, y
et p les segments et relevons les proportions: Triangle
bleu et triangle vert:
Triangle
bleu et triangle jaune:
On duplique
le triangle jaune pour l'apposer au vert par le côté commun p. L'angle en A
est droit du fait de la complémentarité des angles dans le triangle
rectangle. Les côtés x et y son alignés pour la
même raison. Les
triangles réunis jaune et vert forment un triangle rectangle identique au
grand triangle bleu ABC (même mesures des côtés a et b. Son hypoténuse est
égale à c, laquelle est aussi égale à x + y. En
reprenant nos proportions:
La dernière figure
montre les trois triangles rectangles semblables dans leur version classique. |
Théorème de Pythagore
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Voir Théorème de
Pythagore généralisé aux figures semblables
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Construction Un rectangle et un
triangle rectangle. Avec les
deux mesures indiquées retrouver la valeur de x. Solution
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Construction Un carré bleu et
une sécante qui est découpée dans les proportions 1, 2 et 3 avec le
prolongement des côtés. Quelle est l'aire du
carré ? Pistes Sur cette figure, on
distingue trois triangles
rectangles semblables d'hypoténuse 1, 2 et 3. Les longueurs des côtés
de ces triangles sont proportionnelles. Les côtés du carré sont
découpés selon ces mêmes proportions: 1/6, 2/6 et 3/6. Appliquons le théorème de
Pythagore dans le triangle rectangle vert dont un des côtés vaut 2/6 du
côté du carré, soit c/3. |
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Calculs
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