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Édition du: 04/03/2020

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Triangle

 

Types de Triangles – Mesures  

Types

Égaux (isométriques)

Semblables (homothétiques)

 

 

Triangles semblables

 

Triangles qui semblent de la même famille car ils ont les mêmes angles, mais pas les mêmes dimensions.

Il suffit que deux angles soient égaux pour que le troisième le soit aussi, car la somme des trois vaut toujours 180°.

 

Sommaire de cette page

>>> Approche et définition

>>> Détermination des cas de similitude

>>> Propriétés

>>> Théorèmes dont Pythagore

Débutants

Transformations

 

Glossaire

Similitude

Homothétie

 

Approche et définition

haut

 

Approche

Sur cette figure, les triangles de gauche ont des côtés inégaux, cependant les trois angles sont égaux. Ces deux triangles ont semblables.
Effet de grossissement, de zoom.

À droite, les deux triangles n'ont ni les mêmes angles ni les mêmes côtés; ils sont distincts.

 

 

Définition

Deux triangles sont semblables si les trois angles sont égaux (en fait, il en suffit de deux).

 

On dit:

Les triangles semblables possèdent des angles homologues isométriques et des côtés homologues proportionnels.

 

Trois cas de similitudes

Voir Propriétés des triangles

 

 Détermination des cas de similitude

haut

 

 

CAS AA (deux angles)

Anglais: AA (angles)

 

Les deux triangles (jaune et vert) sont semblables car ils ont leurs angles deux à deux égaux.

Le troisième angle vaut 180 – 50 – 70 = 60°

 

 

 

 

Configuration classique

Un angle formé par deux demi-droites.

Deux sécantes parallèles. Elles découpent des angles égaux par rapport aux demi-droites.

 

Ces deux triangles sont semblables.

 

 

 

CAS CCC (trois côtés)

Anglais: SSS (sides)

 

Les côtés homologues de ces deux triangles ont des longueurs de même proportion (ici, k = 2):

10 / 5 = 2
8,24 / 4,12 = 2
11,30 / 5,65 = 2

 

Ces deux triangles sont semblables.

 

 

CAS CAC (deux côtés et angle)

Anglais: SAS (side-angle-side)

 

Deux côtés homologues de ces deux triangles sont proportionnels:

9,72 / 4, 86 = 2

14 / 7, = 2

L'angle formé par ces deux côtés est identique: 60°

 

Ces deux triangles sont semblables.

 

Propriétés

haut

 

Les longueurs sont proportionnelles
(rapport k)

*    côtés

*    hauteurs et médianes

*    périmètre

 

Les triangles restent de même nature

*    isocèle, équilatéral, rectangle

 

 

Les aires sont proportionnelles dans le rapport k².

 

Sur la figure le rapport de similitude  k = 2

L'aire du grand triangle est quatre fois celle du petit.

   

Anglais

if two triangles are similar, their areas are the square of that similarity ratio (scale factor)

 

 

 

Illustration du rapport 4

Longueur  k = 2

Aire  k = 4

Le triangle jaune peut contenir

quatre triangles comme le bleu.

 

 

 

Théorèmes

haut

 

Théorème du partage du triangle

Soit un triangle quelconque ABC et une parallèle DE à l'un des côtés, alors:

 

E effet, les triangles bleu et jaune sont semblables.

C'est le théorème de Thalès appliqué aux deux triangles semblables bleus avec ensuite DF  = EB

 

 

 

Cas de trois triangles rectangles

 

Soit un triangle rectangle ABC de côtés (a, b, c).

On forme deux triangles semblables en menant deux parallèles à BC avec distances a et b à partir du point A.

Nous allons retrouver le théorème de Pythagore.

 

Notons x, y et p les segments et relevons les proportions:

Triangle bleu et triangle vert:

Triangle bleu et triangle jaune:

 

On duplique le triangle jaune pour l'apposer au vert par le côté commun p.

L'angle en A est droit du fait de la complémentarité des angles dans le triangle rectangle. Les côtés x et y son alignés pour la même raison.

Les triangles réunis jaune et vert forment un triangle rectangle identique au grand triangle bleu ABC (même mesures des côtés a et b. Son hypoténuse est égale à c, laquelle est aussi égale à x + y.

 

En reprenant  nos proportions:

 

La dernière figure montre les trois triangles rectangles semblables dans leur version classique.

 

 

Théorème de Pythagore

 

 

Voir Théorème de Pythagore généralisé aux figures semblables

 

 

Haut de page

 

Retour

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*      Similitude – Approche

Suite

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Voir

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*      Égalité en géométrie

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Sites

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/Semblabl.htm