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Édition du: 20/06/2021

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Triangle

 

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Nombres de Kimberling

 

 

Système de coordonnées trilinéaires (sct)

Trilinear coordinates

 

Triplets de nombres qui permettent de situer un point dans le triangle quelconque. Focalisation sur le centre du cercle inscrit.

  

 

Sommaire de cette page

>>> Coordonnées trilinéaires

>>> Distance algébrique aux côtés

Débutants

Triangle

 

Glossaire

Triangle

 

 

Coordonnées trilinéaires

haut

 

Approche

Le point D dans le triangle ABC a pour coordonnées trilinéaires:

*    a' = 0,25

*    b' = 0,11

*    c' = 0,20

Ce sont les distances du point aux droites portant les côtés. Ce sont les perpendiculaires au côté à partir du point Ou encore, les projections orthogonales du point sur les côtés.

 

Intérêt:

Caractériser les points remarquables du triangle par ce simple triplet.

 

 

 

Distances algébriques du point par rapport aux côtés

 

 

Exemple -  Coordonnées trilinéaires des sommets 

*    A (1: 0: 0)

*    B (0: 1; 0)

*    C (0: 0: 1)

 

 

Les coordonnées sont normalisées avec ces mesures unités pour les sommets.

Comme pour les fractions, il est possible de diviser les trois valeurs par un facteur commun.

Des triangles semblables produisent les mêmes coordonnées trilinéaires. 

Le signe de chaque coordonnée indique de quel côté se trouve le point par rapport au côté: positif du côté de l'intérieur et négatif de l'autre côté.

 

 

Distance algébrique aux côtés

haut

 

 

Distance par rapport à AB, côté du triangle:

*    ED = 10 Positif car du côté de C

*    KJ = 4

*    HI = – 2  Négatif car de l'autre côté de C

*    FG = – 4

 

Coordonnées d'un point

Trois valeurs de distance algébrique, chacune par rapport à un côté.

 

Distances positives ou négatives

 

Exemple avec le triangle équilatéral et point G centre du cercle circonscrit

Les coordonnées trilinéaires de G sont du type:
G (x: x; x), valeurs à normaliser.

Hauteur du triangle isocèle:

Distance du point G par rapport à AB, valeur positive:

Coordonnées trilinéaires de ce centre G:

 

Cas du triangle équilatéral et son centre G

 

 

CT = Coordonnées Trilinéaires

CT du centre du cercle circonscrit

haut

 

Construction

Le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle quelconque ABC. En pointillés verts, les médiatrices qui ont servi à la construction du point O.

Rappel: l'angle bleu au centre vaut deux fois l'angle marron en C => Angle ACB = angle AOE.

 

Côté AB

 

 

Côté BC

Côté AC

Rayon

OA = OB = OC

Coord.

  

 

Triangle ABC et son cercle circonscrit

 

Coordonnées trilinéaires du centre O

 

 

CT de l'orthocentre

haut

 

Construction de la figure

On reprend la figure qui permet de démontrer que les hauteurs se coupent en un unique point: l'orthocentre.

Le triangle A'B'C' est formé avec les parallèles aux côtés de ABC. De sorte que les hauteurs de ABC sont aussi les médiatrices de A'B'C'.

Les coordonnées trilinéaires de H sont: (HHa : HHb : HHc).

 

 

 

 

Mesure de la première coordonnée

Dans le triangle rectangle CHHa puis dans le triangle rectangle semblable BCHc.

Notez que b = b' car ces deux angles ont le même complémentaire en C.

 

 

Mesure de CH

Dans le triangle rectangle HCB':

 

Le grand triangle est inscrit dans un cercle car H est le point de concours des médiatrices.

Alors, comme ci-dessus:
angle c" = angle c'

Du fait des parallèles:
angle c' = angle c

 

Bilan

 

 

 

Conclusion

Avec H équidistant de A', B' et C':
HA' = HB' = HC'

 

Coordonnées trilinéaires du centre H

 

CT du centre de gravité

haut

 

Construction de la figure

Le centre de gravité G est le point de concours es médianes. Le point G est situé aux (2/3 ; 1/3) de la médiane.

On trace les deux perpendiculaires vertes.

Les angles marqués en rose sont égaux (congruents).

La proportion sur la médiane se retrouve sur les deux segments CH et GI (Thalès).

 

Il s'agit d'évaluer GI

Soit une première expression des coordonnées trilinéaires de G

Loi des sinus:

 

En multipliant les CT de G par 3 et par l'une des ces fractions en simplifiant:

  

 

Coordonnées trilinéaires du centre G

G ( AB · AC : BA · BC : CA · CB)

 

 

Anglais

In geometry, the trilinear coordinates x:y:z of a point relative to a given triangle describe the relative directed distances from the three sidelines of the triangle.

Trilinear coordinates are an example of homogeneous coordinates. The ratio x:y is the ratio of the perpendicular distances from the point to the sides (extended if necessary) opposite vertices A and B respectively; the ratio y:z is the ratio of the perpendicular distances from the point to the sidelines opposite vertices B and C respectively; and likewise for z:x and vertices C and A.

 

 

 

 

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Suite

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*       Coordonnées barycentriques

*      Nombres de Kimberling

Voir

Sites

*      Coordonnées trilinéaires – Wikipédia

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Remarqua/Coordon.htm