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Édition du: 15/01/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Constructions

Cercle

Géométrie

Construction – Cercles tangents

Deux cercles

Trois cercles

Quatre cercles

Apollonius

Trois cercles et une droite

Sangakus

 

 

Constructions

de 4 cercles tangents

 

Nous avons vu comment construire trois cercles tangents à la la règle et au compas.  Voyons comment ajouter un quatrième cercle tangent aux trois autres. Pas évident. Sur cette page, une méthode sans recourir à l'inversion. Elle est due à Arthur Baragar et Alex Kontorovich. Les auteurs affirment que c'est la méthode qui nécessite le moins d'actions.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Quatre cercles tangents externes

>>> Quatre cercles tangents internes

>>> Rosace type cathédrale

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Quatre cercles tangents externes

haut

 

 

Cercles externes

À partir de la figure précédente avec trois cercles tangents, construire un quatrième cercle de centre D, tangent aux cercles A, B et C.

 

 

 

 

Construction en sept étapes

*      Droites AB, BC et AC, intersection H et K.

*      Droite HK. Intersection L.

*      Cercle (L, LX). Intersection N avec le cercle C.

 

N est un point de tangente du quatrième cercle. Il en faut un autre.

 

 

Construction identique

*      Droite XK. Intersection O.

*      Cercle (O, OH). Intersection P avec le cercle B.

 

P est un deuxième point de tangente du quatrième cercle.

_________________________________

 

 

Finalisation

*      Demi-droites CN et BP. Intersection D.

*      Le cercle (D, DN) est le cercle demandé.

 

 

Quatre cercles tangents internes

haut

 

 

Cercles internes

À partir de deux cercles B et C, tangents intérieurement à un troisième A, construire un quatrième cercle D, tangent aux cercles A, B et C.

 

Cercles internes

La construction est très semblable à celle présentée ci-dessus.

 

 

Les trois cercles

Pour information construction du troisième cercle tangent intérieurement.

 

La longueur HB est égale au rayon du cercle C.

Ici, les rayons des petits cercles sont égaux (b = c). Ils auraient pu être quelconques.

 

 

Un point de tangence

*      Droite FY reliant deux points de tangence. Intersection en M

*      Cercle avec rayon issu de ce point M pour rejoindre le troisième point de tangence X. Intersection N.

 

 

 

 

Deuxième point de tangence

*      Droite XY reliant deux points de tangence. Intersection en O.

*      Cercle avec rayon issu de ce point O pour rejoindre le troisième point de tangence F. Intersection P.

 

 

 

Quatrième cercle

*      Demi-droites CN et BP. Intersection en D.

*      Le cercle (D, DN) est le cercle recherché.

 

 

 

Rosace type cathédrale

haut

 

 

Rosace à quatre tailles de cercles tangents

 

La méthode exposée sur ces pages permet de tracer rigoureusement cette figure.

 

Pour les cercles bleus se reporter aux tracés de la rosace simple.

 

Pour les petits cercles verts et rose, on applique la méthode vue ci-dessus.

Elle doit être appliquée 18 fois. Fastidieux !

 

Voir Rosaces

 

 

 

Réalisation d'un patron

S'il s'agit de créer un patron pour décoration ou autre œuvre artistique le recours à GeoGebra (gratuit) épargne toute ces tâches laborieuses.

La partie bleue peut être construite rigoureusement.

Quant aux petits cercles, GeoGebra et sa possibilité de zoom et déplacements permet d'obtenir un très bon rendu.

 

Cathedrale_st_jean_6158

Rosace de la cathédrale Saint-Jean à Lyon

 

Merci à Lucie Rose Galvani pour l'idée de cette page

 

Haut de page

 

 

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Suite

*      Sangakus

Voir

*      CerclesIndex

*      ConstructionsIndex

*      Yin Yang

*      Théorème de Descartes

DicoNombre

*      Nombre 6

Sites

*      Dessins géométriques aux crayons de couleurs – Guillaume Villemin

*      Géométrie, Pigments & Dorure – Lucie Rose Galvani

*      Efficiency constructing tangent circles – Arthur Baragar et Alex Kontorovich – Auteurs de la construction à trois cercles tangents.

*      Ruler and Compass Constructions – Ken Brakke. Voir la résolution du problème d'Apollonius par inversion – Illustration des 17 étapes pas à pas.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Construc/Cercle4T.htm