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Édition du: 15/01/2021 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Constructions Cercle Géométrie	Construction – Cercles tangents
	Deux cercles	Trois cercles	Quatre cercles
	Apollonius	Trois cercles et une droite		Sangakus

Constructions de 2 et 3 cercles tangents Construction à la règle et au compas de cercles tangents. Pas évident. Méthode sans recourir à l'inversion.
	Sommaire de cette page >>> Deux cercles tangents >>> Trois cercles tangents >>> Rosace de cercles dans hexagone >>> Un cercle tangent à deux cercles quelconques	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Résumé

Construire un cercle tangent à un autre est simple.

Construire un cercle tangent à deux cercles tangents reste assez simple.

Construire un cercle tangent à trois cercles tangents devient un défi. La construction classique fait appel à ce merveilleux outil qu'est l'inversion géométrique. Sur la page suivante, je présente une solution qui ne nécessite pas la connaissance de cet outil.

Un cercle tangent à quatre cercles tangents n'existe pas.

Les solutions existent aussi bien pour des cercles internes qu'externes au cercle principal.

Le cas d'un cercle tangent à deux cercles quelconques est simple.

Le problème d'Apollonius, construire un cercle tangent à trois cercles quelconques (non tangents) est plus difficile et n'est pas abordé dans ces pages. La solution passe par l'emploi de l'inversion.

Deux cercles tangents		haut
But Construire un cercle de centre A et de rayon a. Construire un cercle de centre B et de rayon b, tangent au cercle A. Construction Cercle de centre A et rayon a. On note: (A, a). Point X sur ce cercle. Droite AX. Cercle (X, b). Intersection B avec droite AX. Cercle (B, b). Il est tangent au cercle A en X.	Tracé du second cercle externe au cercle A. Construction semblable pour le cercle B interne au cercle A.

Trois cercles tangents		haut
Cercles externes À partir de la figure précédente, construire un troisième cercle de centre C, tangent aux cercles A et B. Construction en cinq étapes Cercle (X, c) – Pointillé vert. Intersections P et Q. Cercle (A, AQ) – Pointillé rose. Cercle (B, BP). Intersection C Droite AC. Intersection R Cercle (C, CR), le cercle cherché.
Cercles internes À partir d'un cercle tangent intérieurement à un cercle, construire le troisième interne tangent aux deux précédents. Construction Cercle (X, c) – Ici c = b. Il s'agit du cercle (X, XB) Intersections P. Cercle (A, AB) – Pointillé rose. Cercle (B, BP). Intersection C Droite BC. Intersection R Cercle (C, CR), le cercle cherché.	Les deux petits cercles sont identiques, mais la méthode est valable dans tous les cas.
Lieu du point C Lorsqu'on déplace le cercle de droite sur l'axe horizontal, celui-ci change de taille et le point C se déplace le long d'une hyperbole. Avec les rayons a, b et c des trois cercle, on a: CA = a + c; CB = b + c Soit: CA – CB = a – b indépendant de c et caractéristique de l'hyperbole avec foyers en A et B.

Rosace de cercles dans hexagone		haut
But Créer cette rosace: six cercles tangents inscrits dans un grand cercle. Principe La construction s'appuie sur les propriétés de l'hexagone et de ses diagonales. Défi supplémentaire Insérer six petits cercles tangents dans les interstices en périphérie. >>>
Construction Construire un hexagone Médiatrices de deux côtés. Intersection G Cercle (G, GA) – Facultatif. Diagonales. Observations Les cercles cherchés sont inscrits dans les triangles équilatéraux en rose. Les centres de ces cercles sont les intersections des diagonales vertes.
Construction Construire les six cercles: centre = intersection verte; extrémité du rayon: intersection vert-rose. Demi-droite passant par G et intersection verte Grand cercle bleu: centre G et rayon porté par la demi-droite. Effacer les éléments de construction pour obtenir la rosace demandée.

Voir Rosace complète avec quatre cercles tangents

Un cercle tangent à deux cercles quelconques		haut
But Construire les cercles G et H identiques à C, et tangents aux cercles A et B. Construction Construire les cercles de centre A et B de rayon plus grand de la valeur ca = cb = c, le rayon du cercle C. Intersections en G et H. Les cercles (G, c) et (H, r) sont les cercles demandés.

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Voir	Cercles – Index Constructions – Index Yin Yang Théorème de Descartes
DicoNombre	Nombre 6
Sites	Dessins géométriques aux crayons de couleurs – Guillaume Villemin Géométrie, Pigments & Dorure – Lucie Rose Galvani Efficiency constructing tangent circles – Arthur Baragar et Alex Kontorovich – Auteurs de la construction à trois cercles tangents. Ruler and Compass Constructions – Ken Brakke
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Construc/Cercle3T.htm