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Édition du: 13/07/2023

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Brèves de Maths

 

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Algèbre

Calculs 01 – Divers

Polynômes degré 4

Racines carrées

Équations en 1/x

 

 

Calculs avec polynômes de degré 4

 

Résolution d'un cas qui semble difficile. Avec un peu d'intuition et la connaissance des identités remarquables, la solution est à portée de main.

Bon exemple de calcul algébrique. Nécessite une présentation propre si on ne veut pas se perdre dans ce labyrinthe de calculs.

On commence par un cas plus simple avec deux sommes dont une nulle avant d'aborder le défi avec trois sommes son nulles.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Trois relations, que vaut la quatrième (1)

>>> Trois relations, que vaut la quatrième (2)

>>> Solution littérale

>>> Résolution du système

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

Trois relations, que vaut la quatrième (1)

haut

 

On donne la valeur de la somme de trois variables et la somme des carrés.

Trouver la somme des bicarrés.

   

 

Il s'agit d'un problème simple du fait de la présence d'une somme nulle.

Sa résolution montre le chemin pour résoudre le problème suivant nettement plus compliqué.

   

 

Problème et solution

 

 

Racines (pour info)

Avec un logiciel

   

 

Exemple avec c = 1/2

Général en fonction de c

 

Voir Brève 778

 

 

 

Trois relations, que vaut la quatrième (2)

haut

 

On donne la valeur de la somme de trois variables, la somme des carrés et celle des cubes.

Trouver la somme des bicarrés.

 

 

Le problème ressemble à la résolution d'un système d'équations. Pas simple avec des puissances. Il ne serait pas astucieux de vouloir le résoudre. Après tout, on ne demande pas la valeur des variables.

La solution consiste à multiplier des polynômes de degrés inférieurs pour obtenir des degrés supérieurs tels que souhaités.

   

 

Problème et solution

 

Solution littérale

haut

Trouver la valeur de l'expression

à la puissance 4, les sommes sont paramétrées (U, V et W).

 

Tous calculs faits, la somme X cherchée est égale:

 

 

Solutions positives entières

pour U, V et W jusqu'à 5.

Calcul des sommes à partir de a, b et c jusqu'à 5.

 

 

Résolution du système

haut

 

 

Résolution du problème initial à l'aide du logiciel Maple.

 

Calcul de l'expression en puissance quatre avec les valeurs trouvées pour a, b et c.

 

Le résultat est bien 50.

 

 

 

 

 

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Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aExercic/Lycee/CalcPoly.htm

 

 

Présentation linéaire

a + b + c = 4

a^2 +b^2 + c^2 = 10

a^3 +b^3 + c^3 = 22

a^4 +b^4 + c^4 = ?