NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 14/08/2007

Débutants

Général

RUBRIQUE   Nombres

Glossaire Général

 

INVERSES

 

 

 

 

 


 

Rappel

Inverse de 5 = 1/5   (produit égal 1)

Opposé de 5 =  -5   (somme égale 0)

 

Voir Inverse des chiffres et leur somme

 

 

 

 

Somme d'inverses

-Ý-

 

Affirmation

 

Montrez que l'expression suivante est toujours vraie pour n > 1

 

m =

1

+

1

+…+

1

>

13

n+1

n+2

2n

24

 

 

Démonstration par induction

 

Ø     Pour k = 2,

§        C'est vrai

1

+

1

=

14

>

13

2+1

2+2

24

24

Ø     Supposons la formule vraie pour k

§        L'est-elle pour k + 1?

m' =

1

+

1

+…+

1

k+2

k+3

2k +2

Ø     Ajoutons le terme en k+1 et retranchons le

§        Le but étant de retrouver m

m' =

1

+

1

+…+

1

+

1

+

1

-

1

k+1

k+2

2k

2k+1

2k+2

k+1

 

m' = m +

1

+

1

-

2

2k+1

2k+2

2k+2

 

m' = m +

1

-

1

2k+1

2k+2

 

m' = m +

1

(2k+1) (2k+2)

Ø     m' est donc encore plus grand que m

§        Or par hypothèse m >13/24

Ø     CQFD

m' > m > 13/24

 

 

Exemples

                                                                                                                                                    Écart à       Décimal

n n+1      n+2         n+3        n+4         n+5         n+6        n+7         n+8        Somme       13/24         0,5417

2     1/3     1/4                                                                                                          7/12             1/24           0,0417  

3     1/4     1/5             1/6                                                                                       37/60            3/40           0,0750  

4     1/5     1/6             1/7          1/8                                                                       533/840        13/140        0,0929   

5     1/6     1/7             1/8          1/9          1/10                                                     133/206        55/529        0,1040  

6     1/7     1/8             1/9          1/10        1/11        1/12                                     356/545        86/771        0,1115  

7     1/8     1/9             1/10        1/11        1/12        1/13        1/14                      193/293        68/581        0,1170  

8     1/9     1/10           1/11        1/12        1/13        1/14        1/15        1/16      291/439         4/33           0,1212

 

 

 

 

 

 


 

-Ý-

Voir

§      Démonstration par récurrence

 

Aussi

§      Type de nombres

§      Entiers et formes polynomiales