NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 14/08/2007
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	INVERSES

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Rappel

Inverse de 5 = 1/5 (produit égal 1)

Opposé de 5 = -5 (somme égale 0)

Voir Inverse des chiffres et leur somme

Somme d'inverses

-Ý-

Affirmation

Montrez que l'expression suivante est toujours vraie pour n > 1

m =	1	+	1	+…+	1	>	13
	n+1		n+2		2n		24

Démonstration par induction

Ø Pour k = 2,

§ C'est vrai

1	+	1	=	14	>	13
2+1		2+2		24		24

Ø Supposons la formule vraie pour k

§ L'est-elle pour k + 1?

m' =	1	+	1	+…+	1
	k+2		k+3		2k +2

Ø Ajoutons le terme en k+1 et retranchons le

§ Le but étant de retrouver m

m' =	1	+	1	+…+	1	+	1	+	1	-	1
	k+1		k+2		2k		2k+1		2k+2		k+1

m' = m +	1	+	1	-	2
	2k+1		2k+2		2k+2

m' = m +	1	-	1
	2k+1		2k+2

m' = m +	1
	(2k+1) (2k+2)

Ø m' est donc encore plus grand que m

§ Or par hypothèse m >13/24

Ø CQFD

m' > m > 13/24

Exemples

Écart à Décimal n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n+6 n+7 n+8 Somme 13/24 0,5417 2 1/3 1/4 7/12 1/24 0,0417 3 1/4 1/5 1/6 37/60 3/40 0,0750 4 1/5 1/6 1/7 1/8 533/840 13/140 0,0929 5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 133/206 55/529 0,1040 6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 356/545 86/771 0,1115 7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 1/14 193/293 68/581 0,1170 8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13 1/14 1/15 1/16 291/439 4/33 0,1212

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-Ý-	Voir	§ Démonstration par récurrence
	Aussi	§ Type de nombres § Entiers et formes polynomiales