Suite de Kolakoski

Édition du: 27/12/2019

M'écrire

Brèves de Maths

INDEX

Types de nombres

SUITES avec énumération

Commentaire numérique

Suite de Kolakoski

SUITE DE KOLAKOSKI

Suite d'Oldenbuger-Kolakoski

Suite de "1" et de "2" telle que chaque nombre indique la quantité de nombres à ajouter en alternant les 1 et les 2.

Connue de Rufus Oldenburger dès 1939.

William Kolakoski (1944-1997) découvre indépendamment cette suite en 1965.

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Le démarrage

>>> Propriétés

>>> Programme Maple

Débutants

Nombres

Glossaire

Suites

Approche		haut
À partir de la suite déjà construite, on montre comment passer à l'étape suivante. Les deux lignes du haut représentent: L'état de construction de la suite. L'état de l'énumération déjà prise en compte. La suite construite file plus vite que les chiffres décrivant l'énumération. Troisième ligne: la deuxième ligne est décalée pour être placée en face de la fin de la suite construite, montrant que le "2" final exige de poursuivre la suite avec deux nombres. Quatrième ligne: elle est complétée de deux nombres comme prescrit. Alternant avec les "1" existants, ces deux nombres seront des "2".	Principe de la construction En 3^e ligne le 2 final indique que la quatrième ligne doit être complétée de deux nombres. Ce seront des 2, du fait de l'alternance 1 et 2.
La prochaine étape consiste à prendre le 1 rose qui suit le 2 bleu de la suite déjà construite, lequel indique qu'il faut ajouter un nombre en bout de la suite. Ce sera un "1" du fait de l'alternance. Le suivant, après le rose, est encore un "1". Le nombre à jouter à la fin de la suite construite est donc un seul "2".

Le démarrage		haut
Pour bien débuter la suite, il faut préciser la définition: Définition Les nombres de la suite indiquent la quantité de chiffres successifs que l'on doit trouver dans la suite, généralement plus loin dans la suite; et de plus en plus loin. Procédure On commence par placer le nombre 1. Ce 1 impose un seul chiffre à la suite, soit un 2 en vertu de l'alternance 1, 2. Attention ! Ce 2 devient l'indicateur qui spécifie que l'on doit trouver maintenant deux nombres identiques. Dans la suite construite, le 2 final est seul; il doit être doublé pour correspondre à la spécification du 2-indicateur.	Première et deuxièmes étapes En haut l'état des indications déjà satisfaites. En bas, la suite construite. Avec les indications du haut, on lit bien: il y a un "1" et deux "2" dans la suite construite (en bas). Les trois étapes suivantes Voir Nombres 12, 122, 12 211
La suite de Kolakoski 122112122122112112212112122112112122122112122121121122122112122122112112122 …

Propriétés			haut
Quantité de 1 et quantité de 2 Plage de 1 à n; Q1, quantité de "1"; Q2, quantité de "2"; T, quantité de "1" et de "2"; et R, ratio T sur plage On ne sait pas prouver que la densité des "1" ou des "2" est de 50%.
Nombres formés avec la suite		1, 12, 122, 1221, 12211, 122112, 1221121, , … 12211 est un nombre premier. On pourrait penser que c'est le seul. Pourtant, le suivant est : 0,122112… 10²⁸³.
Constante de Kolakoski 0,79450 …	Transformer les nombres de la suite en nombres binaires en retranchant 1 à chaque chiffre et en faire un nombre à virgule: 122112122122 => 0,11001011011 … Ce nombre binaire converti en décimal devient une constante: 0,79450719268061220646 … Voir Conversion Maple
Table des premiers nombres formés par la suite de Kolakoski et leurs facteurs Cette suite ne possède pas de motifs répétitifs, tout comme les nombres irrationnels.
La suite est fractale		Elle se décrit elle-même, y compris à différente échelles.

La suite est généralisable		La suite présentée est construite avec l'alphabet 1, 2. La suite avec l'alphabet 1, 3 serait: 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 3, 3, 3, … (Michel Dekking – 2018) 13, 1331, 13331113331 sont des nombres premiers

Programme Maple

haut

Programme

Première étape du traitement

n = 3 => 1 + (3 – 1) mod 2 = 1 + 0 = 1
=> Le nombre "1" est à ajouter.

L[3 ] = 2 => ce nombre est à ajouter deux fois.
=> L[1, 2, 2, 1, 1]

Deuxième étape du traitement

n = 4 => 1 + (4 – 1) mod 2 = 1 + 1 = 2
=> Le nombre "2" est à ajouter.

L[4 ] = 1 => ce nombre est à ajouter une fois.
=> L[1, 2, 2, 1, 1, 2]

Commentaires

Recherche des 10 premiers nombres de la suite (k = 10).

Liste initiale 1, 2, 2 en L.

Boucle d'exploration des nombres de 3 à k = 10.

Boucle qui introduit un ou deux chiffres selon la valeur de l'indicateur en L(n).

Le chiffre introduit à l'aide d'u calcul d'alternance égal à 1 plus une valeur complémentaire qui vaut 0 ou 1 selon la valeur de n.

Le principe est que le nombre alterne chaque fois que l'on passe à l'étape suivante, au n suivant.

Les 500 premières valeurs

1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, …

Cumul de la somme des nombres de la suite

1, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 33, 34, 36, 37, 39, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 54, 55, 57, 59, 60, 61, 63, 64, 66, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 84, 86, 87, 88, 90, 91, 93, 95, 96, 98, 100, 101, …

Voir Programmation – Index

Haut de page

Retour	Commentaire numérique
Suite	Spectre numérique
Voir	Suites Types de nombres – Index
Sites	Suite de Kolakoski – Wikipedia Kolakoski sequence – Wolfram MathWorld OEIS A000002 – Kolakoski sequence (1, 2) OEIS A064353 – Kolakoski sequence (1, 3) OEIS A118270 – Decimal expansion of Kolakoski constant
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/aSuite/Kolakosk.htm