NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/12/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Suite de nombres dite

du COMMENTAIRE NUMÉRIQUE

Suite de Conway

Suite de nombres comportant une autoréférence.

Elle mixte nombres et quantité de nombres.

Anglais: Likeness sequence / Look-and-say sequence / Audioactive decay (terme de Conway, auteur de cette suite en 1986)
Puzzle: what is the next number in this sequence: 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221?

Allemand: Gleichniszahlen-Reihe  (terme de Hilgemeier)

COMMENTAIRES NUMÉRIQUES

Il s'agit d'une suite de nombres très déroutante, mais très amusante une fois connu le truc. Une suite mystérieuse 1 11 21 1211 111 221 ?.. Paradoxalement, moins on dispose de connaissances, plus facile est sa résolution. Il faut chercher simple! Un élève de CP est capable de résoudre ce mystère. Cette suite se trouve également dans le livre de Bernard Werber " Le Jour des Fourmis " sous la forme d'une énigme dont la solution n'est révélée qu'au milieu de l'ouvrage. La clé du mystère La suite correspond à l'énumération orale des chiffres successifs, lus de gauche à droite, en regroupant les chiffres identiques consécutifs. Ayant posé le 1, je lis qu'il il a un 1, et j'écris 11. Je lis à nouveau: il y a deux 1, et j'écris 21. etc. Le nombre qui manque en haut est donc: 312211 Autre écriture pour comprendre le truc 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211 … 1, un 1, deux 1, un 2 un 1, trois 1 deux 2 un 1 … La suite 1 11 21 1211 111221 312211 13112221 1113213211 31131211131221 13211311123113112211 11131221133112132113212221 3113112221232112111312211312113211 … À quand l'apparition du chiffe 4? Peut-on donner la formule donnant le terme d'ordre n?

Exemples de lecture

Données	Lecture	Écriture numérique
123	Un 1, un 2 et un 3	11 12 13
111222333	Trois 1, trois 2, trois 3	31 32 33
313233	On peut aussi commenter un commentaire déjà fait	13 11 13 12 23
1311131223	Et recommencer jusqu'à l'infini	11133113112213

Taux d'expansion des commentaires numériques: 1,303 577...
Soit 30% d'expansion en moyenne à chaque nouveau commentaire.
Constante de Conway, unique racine positive d'un polynôme de degré 71.

Explications illustrée

COMMENTAIRE NUMÉRIQUE – Liste
1	Il y a un " 1 ", on écrit: 11 sur la ligne suivante.
11	Il y a deux " 1 ", on écrit: 21
21	Il y a un " 2 " puis un " 1 ", soit 12 11.
1211	Etc.
111221
312211
13112221
1113213211
31131211131221
13211311123113112211
11131221133112132113212221
3113112221232112111312211312113211

COMMENTAIRE EN LETTRES

U

UN U

Il y a 1 U

UN U UN N UN U

Il y a 1 U, 1 N et 1 U

UN U UN N UN U UN U ...

Etc.

Illustration

u

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n

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n

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Autre forme

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n

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n

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u

n

n

u

n

u

On trouve un motif du type: Poussière de Cantor asymétrique

PROPRIÉTÉS

Générales Le plus grand nombre de la séquence est 3. Jamais de 4. Chaque nombre, sauf le premier, comporte une quantité paire de chiffres. Les nombres se terminent alternativement par 11 puis 21. La séquence 333 jamais présente (inexistante jusqu' la rangée 33). La preuve: supposons que 333 soit en position n pour la première fois, ce 333 voudrait dire qu'il y a aussi trois 3 avant, ce qui est contradictoire. Les "1" prédominent, alors que les "3" sont relativement rares. La proportion de chacun des 3 nombres (1, 2 & 3) semble stable. Big-bang numérique Le big-bang numérique, c'est l'expansion infinie de cette suite. À partir du UN, on obtient une expansion infinie de taux: 1,303 577 269 03... solution d'une équation de degré 71. D'un terme à l'autre, la taille de la suite est multipliée par ce nombre, soit une augmentation exponentielle de 30%. Au rang 27, on obtient déjà 2 012 chiffes. Cette propriété est vraie quelle que soit la valeur de départ, sauf pour 22 qui est un noyau stable et d'ailleurs le seul cycle fini.

STABILITÉ
Les éléments stables En observant les nombres de la suite, on peut les décomposer en éléments stables et éléments instables. Il y a 92 éléments stables. En effet, certains nombres N sont la concaténation de deux morceaux G et D qui dans la suite des commentaires numériques n'interférerons plus jamais entre eux. Alors le nième commentaire de N sera la concaténation du nième commentaire de G et du nième commentaire de D. Exemple: N = GD (partie gauche et partie droite)
G =11132	D = 13211
Tous les commentaires suivant se termineront par 2.	Aucun des commentaires suivants ne commencera par 2.
311312 1321131112 11131221133112	11131221 3113112211 13211 3212221
La fin est toujours 2.	Le début revient de manière cyclique.
Les nombres qui ne peuvent pas être décomposés de la sorte sont appelés des atomes. Il y en a 92 qui restent présents dans la suite au cours de son évolution. À partir d'un certain moment, l'évolution consiste en la transformation de ces atomes les uns en les autres selon des règles immuables, sorte de bouillonnement complexe mais parfaitement réglé. L'abondance des atomes tend vers certaines valeurs fixes.

CYCLES

Commentaires cycliques

Le couple " 2 2 " est la seule suite finie qui soit égale à son commentaire.

Il n'existe pas de suites numériques infinies qui, lorsqu'on en fait le commentaire, soient égales à elles-mêmes.

Il existe 4 suites cycliques d'ordre 3: suites dont le quatrième commentaire redonne la suite initiale.

Ou autrement dit: ces nombres infinis sont exactement égaux au commentaire du commentaire du commentaire d'eux-mêmes.

Commentaire de suite finies

9 3 1 2 1 9	On donne la quantité des chiffres dans l'ordre croissant: il y deux 1, il y a un seul 2 …
21 12 13 29	On dénombre à nouveau chaque chiffre
31 32 13 19	Etc.

Ces suites ne sont pas infinies, elles donnent un cycle.

Exemple en partant de 1

1	11	21	1112	3112
211213	312213	212223	114213	31121314
41122314	3122134	21322314	21322314	Idem

HISTORIQUE
Suite décrite pour la première fois par l'Allemand M. Hilgemeir. Mais c'est John Conway (photo) – célèbre pour son invention du jeu de la vie - qui a traité en profondeur ces suites de "commentaires numériques infinis ". Elle a été popularisée sous le nom de séquence des nombres de Morris.

Voir	Autre suite en autoréférence Miroir Nombres Magiques Pannumériques Suite de nombres Suites classiques
DicoNombre	Nombre 1,303… Nombre 111 Nombre 2211
Site	OEIS A005150 - Look and Say sequence: describe the previous term! Look and Say Sequence – Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/SeqComme.htm