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		Sommaire de cette page >>> Carrés des nombres à deux chiffres >>> Table >>> Recherche >>> Nombre 60 996 100

CONCATÉNATION de deux nombres CONSÉCUTIFS formant un CARRÉ

Deux nombres consécutifs accolés qui forment un carré.

Unique cas pour 8 chiffres.

Une bonne occasion de tester notre esprit de déduction

Carrés des nombres à deux chiffres

91² = 8182 avec 81 = 82 – 1

Aucun autre tel motif avec différence de 1 dans un sens ou l'autre et même avec égalité. Il faut créer un écart de 4 pour trouver le suivant: 81² = 6561 et 65 = 61 + 4

On oublie le motif trivial: 20² = 400 avec 4 = 0 + 4

Avec un écart de 5 on trouve:

[45, 2025], [46, 2116], [55, 3025], [56, 3136]

TABLE
Carrés formés de la concaténation de deux nombres successifs Voir Nombre 6099 6100 Carrés formés de la concaténation de deux nombres successifs INVERSES (le second est inférieur au premier)

Voir Suite et autres puissances

Recherche

Deux catégories de méthodes

Recherche par déduction logique: voir exemple avec 6099 6100.

Recherche par exploration systématique sur tableur ou avec programme.

Sur un tableur

Pour deux chiffres commencez par mettre 10 en A et les formules indiquées dans les colonnes suivantes:

A	B	D	E	F
10	= A + 1	=100*A + B	= RACINE (D)	SI (E=TRONQUE(E) , OUI, NON)

Marquez cette ligne et accrochez l'ancre en bas à droite

Tirez jusqu'à l'indication 98

C'est terminé, vous avez toutes vos réponses

Adaptez pour 4, 6, 8 … chiffres

Avec un programme, comme Mapple

for i from 10 to 98 do
N:= 100*i + i + 1
RN:= evalf ( sqrt (RN) ):

if RN = trunc(RN) then
lprint (i, N, RN):
fi:
od:

Note: l'évaluation de la racine avec evalf, permet de limiter le temps de calcul avec un test sur 10 décimales seulement. Lorsque vous explorerez des nombres avec plus de chiffres vous devrez sans doute calculer RN avec RN := sqrt(N).

Voir Programmation

NOMBRE 6099 6100 = 7810²
Deux nombres consécutifs accolés qui forment un carré, unique cas pour 8 chiffres. Comment s'y prendre pour le trouver?

Recherche d'une formulation en facteurs
Ce nombre est un carré	N	= a²
Remarque sur les valeurs maximales sachant que N a 8 chiffres	N a	< 100 000 000 < 10 000
Deux nombres consécutifs concaténés	N	= [n] [n+1]
Écriture développée, sachant que N a 8 chiffres		= 10 000 n + n + 1 = 10 001 n + 1
Rapprochement des deux écritures	a²	= 10 001 n + 1
Isolons le terme en n	10 001 n	= a² – 1
Identité remarquable	10 001 n	= (a – 1)(a + 1)

Recherche des facteurs – Première tentative: simple
Formulation trouvée: deux facteurs de chaque côté	10 001 n	= (a – 1)(a + 1)
Identifions le premier au premier La valeur de a dépasse le maximum autorisé	10 001 10 002	= a – 1 = a
Identifions le premier au deuxième La valeur de a dépasse le maximum autorisé	10 001 10 000	= a + 1 = a

Recherche des facteurs – Deuxième tentative: un peu plus recherchée
Formulation trouvée	10 001 n	= (a – 1)(a + 1)
Développons 10 001	73 x 137 n	= (a – 1)(a + 1)
Identifions le premier facteur au premier facteur	73 74	= a – 1 = a
Calcul de n	73 x 137 n n	= (74 – 1)(74 + 1) = 73 x 75 = 5 475 = 5 475 / 10 001 Impossible
Avec le deuxième	137 138	= a – 1 = a
Calcul de n	73 x 137 n n	= (138 – 1)(138 + 1) = 137 x 139 = 19 043 = 19 043 / 10 001 Impossible

Recherche des facteurs – Troisième tentative Hélas, il faut recourir à des outils plus complexes!
Rappel	73 x 137 n	= (a – 1)(a + 1)
Développons n en u.v	73u x 137v	= (a – 1)(a + 1)

Choix équations

Identifions le premier facteur au premier facteur	73u 137v	= a – 1 = a + 1
Système d'équations: élimination de a	137v – 73u	= 2
Résolution de l'équation à deux inconnues	v	= (73u + 2) / 137
Solutions Vous pouvez faire une recherche systématique avec un tableur	u = 30 v = 16	Vérification (73 x 30 + 2) / 137 = 2192 / 137 = 16
Calcul de n et N NON	n = u v	= 480 Que trois chiffres (n doit en avoir 4)

Mêmes équations

Avec les mêmes équations la solution suivante est: NON

u = 167 v = 89

n = 167 x 89 = 14863 Nombre à 5 chiffres (n a 4 chiffres seulement)

Autres équations

Inversions des égalités. Identifions le premier facteur au deuxième facteur	73u 137v	= a + 1 = a – 1
Système d'équations: élimination de a	137v – 73u	= – 2
Résolution de l'équation à deux inconnues	v	= (73u – 2) / 137
Solutions Vous pouvez faire une recherche systématique avec un tableur	u = 107 v = 57	Vérification (73 x 107 – 2) / 137 = 7809 / 137 = 57
Calcul de n et N BINGO!	n = u v N =	= 107 x 57 = 6099 = 6099 6100 = 7810²

C'est une solution. Est-ce la seule?

Mêmes équations

Avec les mêmes équations la solution suivante est:

u = 244 v = 130

n = 244 x 130 = 31720 Trop grand pour n (4 chiffres seulement)

FIN d'exploration

N

= 6099 6100 = 7810²

Seule solution

Voir	Nombres concaténés en carré (suite) Consécutifs Carrés
DicoNombre	Nombre 6099
Livre	J'ai retrouvé le nombre 60996100 dans le livre de Louis Thépault . Il comporte de nombreux autres cas avec leur résolution. Passionnant!
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/NbInsoli/N6099610.htm