Premiers et plus grands facteurs

Approche		haut
Principe Il s'agit de caractériser un nombre premier par le plus grand facteur de son voisin juste inférieur. Une itération converge vers le nombre premier 2. La hauteur du nombre premier est égale à la quantité d'itérations. Procédé Un nombre N. Le plus grand facteur PGF de N – 1. N prend la valeur de PGF. Recommencer en prenant son plus grand facteur. Arrêt des itérations lorsque PGF = 2. Record de hauteur Le nombre premier 2 879 détient le record pour la hauteur 8. C'est le plus petit nombre premier qui atteint la hauteur 8.	Exemple avec le nombre composé 100 La hauteur du nombre 100 est 3.
	Exemple avec le nombre premier 2 879 La hauteur du nombre 2 879 est 8.

Voir Brève 887

Listes			haut
Hauteur des 100 plus petits nombres (composés et premiers) Une dizaine par ligne Commençant par la valeur pour 2 avec H(2) = 0.	0, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 2, 4, 5, 2, 3, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 2, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 4, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 3, 5, 3, 2, 3, 3, 3, …	Exemples H(2) = 0 H(3) = 1 H(10) = 2 H(24) = 4 H(58) = 5
Hauteur des 1000 plus petits nombres PREMIERS [P, sa hauteur] Exemple: la hauteur du nombre premier 7 est 2 En rouge, la présence d'une nouvelle hauteur (record)	[2, 0], [3, 1], [5, 1], [7, 2], [11, 2], [13, 2], [17, 1], [19, 2], [23, 3], [29, 3], [31, 2], [37, 2], [41, 2], [43, 3], [47, 4], [53, 3], [59, 4], [61, 2], [67, 3], [71, 3], [73, 2], [79, 3], [83, 3], [89, 3], [97, 2], [101, 2], [103, 2], [107, 4], [109, 2], [113, 3], [127, 3], [131, 3], [137, 2], [139, 4], [149, 3], [151, 2], [157, 3], [163, 2], [167, 4], [173, 4], [179, 4], [181, 2], [191, 3], [193, 2], [197, 3], [199, 3], [211, 3], [223, 3], [227, 4], [229, 3], [233, 4], [239, 2], [241, 2], [251, 2], [257, 1], [263, 4], [269, 4], [271, 2], [277, 4], [281, 3], [283, 5], [293, 3], [307, 2], [311, 3], [313, 3], [317, 4], [331, 3], [337, 3], [347, 5], [349, 4], [353, 3], [359, 5], [367, 3], [373, 3], [379, 3], [383, 4], [389, 3], [397, 3], [401, 2], [409, 2], [419, 3], [421, 3], [431, 4], [433, 2], [439, 3], [443, 2], [449, 3], [457, 3], [461, 4], [463, 3], [467, 5], [479, 3], [487, 2], [491, 3], [499, 4], [503, 3], [509, 4], [521, 3], [523, 4], [541, 2], [547, 3], [557, 5], [563, 4], [569, 4], [571, 3], [577, 2], [587, 4], [593, 3], [599, 4], [601, 2], [607, 3], [613, 2], [617, 3], [619, 3], [631, 3], [641, 2], [643, 5], [647, 3], [653, 3], [659, 5], [661, 3], [673, 3], [677, 3], [683, 3], [691, 4], [701, 3], [709, 5], [719, 6], [727, 3], [733, 3], [739, 3], [743, 4], [751, 2], [757, 3], [761, 3], [769, 2], [773, 3], [787, 4], [797, 4], [809, 3], [811, 2], [821, 3], [823, 3], [827, 5], [829, 4], [839, 4], [853, 4], [857, 5], [859, 3], [863, 5], [877, 3], [881, 3], [883, 3], [887, 3], [907, 3], [911, 3], [919, 2], [929, 4], [937, 3], [941, 5], [947, 4], [953, 2], [967, 4], [971, 3], [977, 3], [983, 4], [991, 3], [997, 4], …
Hauteur record pour les nombres premiers inférieurs à 100 000 000.

Programmation Maple

haut

But

Éditer la liste des records de hauteur des nombres premiers: suite des premiers-records, et aussi suite des premiers-records avec leur hauteur.

Commentaires

Réinitialisation et appel aux logiciels de théorie des nombres (numtheory).

Déclaration de listes et compteur.

Boucle d'analyse des nombres de 2 à 1000.

Compteur k mesurant la hauteur.

Suite si le nombre n est premier.

Analyse tant que le nombre analysé (m), qui vaut n au départ, n'atteint pas 2.

Calcul du plus grand facteur avec factorset (liste des facteurs) dont on prend le dernier (en -1 en imaginant la liste en boucle).

Compteur plus 1 et remplacement du nombre m par le facteur f.

Recherche du record en comparant le compteur en cours(k) et la mémoire du record (kt). Si plus grand alors enregistrement et mise à jour du compteur de records.

Édition des deux listes en fin de traitement.

Remarque

Une programmation plus astucieuse consisterait à écrire une procédure utilisée en mode récurrence.

Voir Programmation – Index

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Voir	Cribles de recherche des nombres premiers
Livre	Those Fascinating Numbers – Jean-Marie De Koninck – AMX – 2009 – 297,99 euros
Sites	OEIS A0882449 – Let f(p) = greatest prime divisor of p-1. Sequence gives smallest prime which takes at least n steps to reach 2 when f is iterated.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Premier/PremCycl.htm