NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Scénario 1

>>> Scénario 2

>>> Conclusion

 

 

 

 

 

TABLETTE de CHOCOLAT

 

Une tablette de chocolat gratuite pour dix achetées. Quel est le prix exact (intrinsèque) de la tablette ?

 

Attention!

Chaque tablette, y compris la tablette gagnée, contient un coupon. Avec dix coupons, j'ai droit à une tablette gratuite qui contient … un coupon!

Alors ? Pas si simple …

 

 

Scénario 1 – Explication mathématique

 

J'achète 10 tablettes.

Je dispose de 10 coupons.

J'ai droit à ma tablette gratuite qui contient un coupon.

 

 

Je cherche à connaître le prix exact d'une tablette de chocolat (sans coupon).

 

Si la tablette plus le coupon coûte 1€, la tablette coûte un peu moins d'un euro.

 

En fait: 10€ pour 11 tablettes, soit 0,91€.

Pas si simple! Avec la tablette gratuite, je dispose encore d'un nouveau coupon qui a de la valeur.

 

En fait, pour chaque tablette, la 0,1 tablette supplémentaire contient en plus 0,01 tablette en puissance, et même 0,001, etc.

Soit au total 1,111111...  ou sous forme d'une série infinie 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 +...

 

Ce qui conduit au prix de la tablette pure:

1 / 1, 111… = 0,9€

 

 

Illustration

 

 

Scénario 2 – Explication "bonto"

Quelle est la valeur du coupon?

Crédit épicier

Évaluation de mes biens

Coût

J'achète neuf tablettes:

 

9 T

+ 9 C

9€

Je demande à l'épicier de me prêter une tablette et son coupon.

Cp = coupon prêté

Tp = Tablette prêtée

1Tp + 1Cp

9 T  + 1Tp

+ 9C + 1Cp

 

Je donne les 10 coupons pour payer la tablette gratuite avec son coupon.

1Tp + 1 Cp

9 T + 1T + 1Tp

1C

 

Je rends ce qui m'a été prêté.

Néant

9 T + 1 T

 

 

Il me reste une tablette, sans coupon à ajouter aux neufs du début.

 

10 T

 

 

Avec cette astuce, en fin de course, je dispose de dix tablettes sans coupons que j'ai payées 9€.

Coût unitaire

9 / 10 = 0,9€

 

 

 

 

 

Conclusion

 

Une simple tablette (sans coupon)

vaut: 0,9 euro.

 

La valeur marchande du coupon est

égale  à: 0,1111… euro ( = 1 / 9)

 

En rapprochant les deux calculs:

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...

= 1 + 1/9

La série (infinie de nombres) est convergente

sa somme (ou sa limite) est 1+1/9

On peut aussi écrire

 

1,1111…

0,1111…

0,9999…

= 1 + 1/9

= 1/9

= 1

Les décimaux finis:  0,1;   0,2  ...

peuvent s'écrire avec une suite infinie sous la forme 0,0999...; 0,19999...

Voir Rationnel 1 = 0, 999…

 

  

 

 

 

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