Trois perpendiculaires

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Théorème des

TROIS PERPENDICULAIRES

La propriété.

Sa démonstration (simple) basée sur les cas d'égalité des triangles.

Ses conséquences.

Voir Perpendiculaire – orthogonal et normal

Théorème des trois perpendiculaires

AB est perpendiculaire au plan P.
MM' est perpendiculaire à la droite BC.
Alors la droite AC est perpendiculaire à la droite MM'

Énoncé du théorème

Si une droite (AB) est perpendiculaire à un plan (P) et que, par son pied (B), on mène la perpendiculaire (BC) à une droite quelconque du plan (MM'), la droite (AC) qui joint le pied (C) de cette seconde perpendiculaire à un point quelconque de la première(A), est perpendiculaire à la droite du plan (MM').

Démonstration

Hypothèses BC et MM' appartiennent au plan P. Prouver que: Construction Lignes vertes avec:	AB P MM' BC AC MM' ? CM = CM'
Démonstration CM = CM' et l'angle BCM est droit. BC est la médiatrice de MM'. Dans les triangles latéraux: ABM et ABM' Ces deux triangles sont égaux. Dans ces triangles Dans les triangles de face: ACM et ACM' Ces deux triangles sont égaux. Dans ces triangles Or la somme des deux angles est un angle plat, car MCM' est une droite. Chacun est un angle droit.	BM = BM' BM = BM' AB est commun ABM = ABM' = ABM = ABM' AM = AM' AM = AM' AC est commun CM = CM' ACM = ACM' ACM = ACM' ACM = ACM' =

Parallèles et perpendiculaires à un plan
Reprenons la même figure et ajoutons la parallèle D' à D Théorème Si deux droites (D et D') sont parallèles, alors que D est perpendiculaire au plan P, alors D' l'est aussi La démonstration reprend les éléments de la démonstration précédente et se poursuit comme suit:
Nous avons démontré que: Nous savons (construction) que: Conclusion: MC est perpendiculaire au plan qui contient ces segments. Les parallèles D et D' sont dans le même plan qui passe par B et C. MC est perpendiculaire à toute droite du plan en particulier D'. ABC est un angle droit et D et D' sont parallèles. Finalement, la droite D' est perpendiculaire à deux droites du plan P, elle est perpendiculaire au plan.	MC AC MC BC MC Plan (ABC) D et D' Plan (ABC) D' MC ABC = ECB = D' MC D' BC D' plan ABC

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Vocabulaire de la géométrie

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