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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 05/02/2014

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Nombres

RUBRIQUE   FRACTION

Glossaire Fraction

 

LA FRACTION AMÉRICAINE

 

 

 

 

 

 

 

FRACTION & RÉFLEXION

 

Occasion d'une chronique posant

une simple question mathématique

pour montrer quelques calculs sur les fractions

 

 

 

 

Chronique de Jacques Attali

*    Début de la chronique de Jacques Attali intitulée "La fraction américaine"

 

Un haut responsable américain se plaignait l'autre jour devant moi d'une statistique stupéfiante

les deux tiers des Américains de 16 ans ne savent pas
                       transformer 0,65 en une fraction

 

Ce test renvoie a un fait trop peu connu

Si ses 40 meilleures universités, où les étudiants américains ne sont plus majoritaires, sont mondialement réputées,

Le système académique des États-Unis est branlant

selon l'OCDE, ce pays est au 9e rang des nations les plus riches pour le nombre des jeunes entre 25 et 34 ans parvenus à une formation secondaire,

au 16e rang pour le nombre de diplômes de l'enseignement secondaire et

au 13e rang pour le nombre de diplômes de l'enseignement supérieur

et la moitié des Afro-américains n'ont pas accès au moindre enseignement secondaire de base.

 

 

*    Jacques Attali énonce ensuite trois conclusions (hypothèses) contradictoires

*    Déclin américain

*    Intelligence d'un pays qui consacre ses efforts à former les élites du monde

*    Effet du monde électronique où savoir effectuer une fraction, ou même savoir écrire à la main, n'est plus nécessaire

 

*    La leçon est donnée par la fin de la chronique

 

 

La fraction est signe de fracture. Et signe, en même temps, de déclin.

Si, demain,

peu de gens seront nécessaires pour manipuler ces savoirs,

ne l'emporteront après-demain que les nations et les entreprises qui auront réussi à mettre en réseau le plus grand nombre, pour créer une intelligence col­lective.

Là, l'Europe pourrait retrouver toute sa place, si elle voulait bien se souvenir des leçons du passé:

les meilleures additions sont celles dont le total n'est pas égal à la somme des parties.

Chronique de Jacques Attali parue dans l'Express du  11/10/2007

 

 

Fraction pour 0,65

 

Question

 

*    Transformer 0,65 en une fraction

 

 

 

Réponse immédiate

 

*    La solution immédiate et classique pour un nombre décimal à nombre de chiffres derrière la virgule bien défini consiste à multiplier le nombre par la puissance de dix qui éliminera toutes les décimales

 

 

 

 

 

 

 

 

Recherche d'une fraction avec numérateur (N) et dénominateur (D).

0, 65 =

N ?

D ?

 

On peut aussi l'écrire comme une fraction comme ceci.

0, 65 =

0,65

1

 

Oui mais, la question suppose que l'on aboutisse à des nombres entiers pour numérateur et dénominateur.

 

0, 65 =

0,65 x 100

1   x 100

 

On se souvient qu'il est licite de multiplier le haut et le bas par 100 sans changer la valeur de la fraction

 

Et voici, donc, la solution

0, 65 =

65

100

 

Réponse améliorée

 

*    Un élève à qui on apprend les fractions et, surtout à les simplifier, observe immédiatement un facteur 5 commun au numérateur et au dénominateur

 

 

*    La question n'était pas si banale, en fait!

 

En divisant par 5 en haut et en bas:

 

0, 65 =

65 / 5

=

13

100 / 5

20

 

Et, c'est tout, car 13 n'est pas divisible par un autre nombre (il est premier).

 

0, 65 =

13

20

 

On ne sera pas étonné de ce résultat. En effet, en multipliant par 20 notre nombre on trouve:   0,65 x 20 = 13

 

 

 

Réponse de matheux

 

*    Un habitué de l'arithmétique et du calcul mental, va immédiatement se demander pourquoi calculer une telle fraction si clairement égale à 65 / 100 (ou 65%)

*    La question sous-tend-elle un piège ou une astuce?

*    Mais oui! 0,65 est proche de 0,66 et la valeur de la fraction demandée est très proche de 2/3

Recherche d'une fraction avec numérateur (N) et dénominateur (D)

0, 65 =

N ?

D ?

 

Or 0,65 ≈ 0,666 …

 

0, 65 ≈ 0, 666 … =

2

3

 

NB: notez le constat de la chronique disant "les deux tiers des américains …" Coïncidence?

Réponse améliorée du matheux

 

*    La réponse précédente est approximative. De combien?

 

 

*    Le nouveau nombre 0,0166… est également une valeur particulière: 5/3, mais 100 fois moins, soit 5/300

 

 

*    De sorte que la valeur initiale est la différence entre deux fractions sympathiques

 

Écart entre les deux valeurs

 

0, 666 … -  0, 65 = 0, 0166…

 

Soit: 0,0166 / 0, 65 = 0, 025 = 2,5% de précision

 

Nouvelle valeur en fraction, y compris en simplifiant

0,01666 … =

5

=

1

300

60

 

Nouvelle expression de la valeur initiale

 

0,65 =

2

-

1

3

60

 

 

 

 

Vérification

 

*    Les deux réponses semblent bien éloignées!

*    Vérifions qu'il s'agit bien du même résultat

 

 

 

 

 

 

Rappel du dernier résultat

 

0, 65 =

2

-

1

3

60

 

Même dénominateur

 

0, 65 =

2 x 20

-

1

3 x 20

60

 

0, 65 =

40

-

1

60

60

 

Différence effectuée et simplification par 3

 

0, 65 =

39

=

13

60

20

 

On retrouve notre premier résultat

 

 

 

 

Somme de

 fractions  unitaires

 

*    Comment exprimer 0,65 en somme de fractions ayant toutes un numérateur égal à 1

*    La fraction est manifestement plus grande que 1/2, soit 10/20. Faisons intervenir cette valeur

*    Le reste 3/20 est plus petit que 1/4 = 5/20, il faut aller chercher plus petit: 1/10 = 2 /20

 

 

*    Vous aurez peut-être noté que les numérateurs possibles ne sont que les diviseurs du dénominateur, autrement la fraction ne pourrait pas se simplifier

 

 

Rappel de la fraction pour 0,65

 

0, 65 =

13

20

 

 

En faisant 10 + 3 = 13

 

0, 65 =

10

+

3

20

20

 

 

Avec 3 = 2 + 1

 

0, 65 =

1

+

2

+

1

2

20

20

 

Soit le résultat recherché

 

0, 65 =

1

+

1

+

1

2

10

20

 

 

 

 

 

 

Voir

*    0,65 - Dico nombre

*    Énigmes avec fractions

*    Fractions

*    Fractions égyptiennes

*    Opérations

*    Règle de trois