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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 18/09/2005

 

 

Débutants

- Ý -  TRIANGLE en soustraction

Glossaire

Sommaire de cette page

 

>>> ORDRE 2

>>> ORDRE 3

>>> ORDRE 4
>>> ORDRE 5

>>> OPTIMUM

 

Pages voisines

 

§    Triangle

 

TRIANGLE à soustractions

 

A

 

B

 

C

 

 

§         Les cases A, B et C sont calculées

ü      Chaque case est égale à la différence des deux du haut C = A - B

ü      Ce qui revient à dire que A = B + C

§         Avec ce motif répété, trouvez les solutions minimales en X

ü      en utilisant les nombres de 1 à X

ü      sans les répéter

§         Exemple de disposition (mais ne répond pas aux critères)

16

 

8

 

4

 

2

 

1

 

8

 

4

 

2

 

1

 

 

 

4

 

2

 

1

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Ordre 2

-Ý-

                                                                                                                                              

§         Avec 2 nombres sur la ligne du haut

§         La solution est unique

ü      Les trois premiers chiffres sont utilisés une seule fois

ü      et 3 - 2 = 1

3

 

2

 

1

 

 

 

Ordre 3

-Ý-

           

SOLUTION

§         Avec 3 nombres sur la ligne du haut

§         Voici la solution minimale

ü      Tous les nombres de 1 à 5

§         Mais, hélas, nécessité de sauter de 5 à 8

Solution minimale

8

 

3

 

2

 

5

 

1

 

 

 

4

 

 

 

ÉTUDE

§         Pour comprendre, voyons la formulation

ü      a, b et c sont les données de départ

ü      les autres sont calculées

ü      La case notée X est bien celle qui nécessite le plus grand nombre

 

§         Avec cette formulation, il est possible de calculer la valeur minimale de X

ü      b multiplié par 2, sera égal à 1

ü      a et c, prendrons les valeurs suivantes: 2 et 3

ü      X = a  + 2b + c = 2 + 2 + 3 = 7

ü      Il n'existe pas de solution avec les nombres successifs de 1 à 6

§         Cette solution présente une répétition du nombre 3

ü      Elle n'est pas valable

ü      La première est donnée ci-dessus

ü      En voici une seconde (permutation)

 

Littéral

X

 

B

 

c

 

A

 

b

 

 

 

a

 

 

Formule

X = A + B

         = a + 2b + c

 

B = b + c

 

c

 

A = a + b

 

b

 

 

 

a

 

 

Nombres minimaux

7

 

4

 

3

 

3

 

1

 

 

 

2

 

 

Seconde solution minimale

8

 

5

 

4

 

3

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Ordre 4

-Ý-

           

SOLUTION

§         Avec 4 nombres sur la ligne du haut

§         Voici la solution minimale

ü      Tous les nombres de 1 à 5

§         Mais, hélas …il faut aller à 20

Solution minimale

20

 

8

 

5

 

4

 

12

 

3

 

1

 

 

 

9

 

2

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

ÉTUDE

§         Valeur minimale de X

ü      b = 1, c = 2, a = 3 et d = 4

ü      X = 3 + 3 + 6 + 4 = 16

§         Est-elle valable?

ü      Hélas, non, il faut atteindre x = 20 pour éviter les répétitions (solution ci-dessus)

 

§         Il y a 6 solutions

ü      En voici une deuxième avec les chiffres de 1 à 7

 

§         Solution optimale

ü      c'est celle qui donne X minimum sans répétition des nombres

ü      et avec un maximum de nombres consécutifs de 1 à n

ü      On la note TO (X, n)

 

Littéral

X = M + N

= a + 3b + 3c + d

 

N = B + c

= b + 2c + d

 

C = c + d

 

d

 

M = A + B

= a + 2b + c

 

B = b + c

 

c

 

 

 

A = a + b

 

b

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

Solution optimale T4 (20, 7)

 

20

 

9

 

5

 

2

 

11

 

4

 

3

 

 

 

7

 

1

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

Ordre 5

-Ý-

           

SOLUTION

§         Avec 5 nombres sur la ligne du haut

§         Voici la solution minimale

ü      Tous les nombres de 1 à 5

§         Mais, hélas …il faut aller à 20

Solution optimale T5 (43, 10)

 

43

 

20

 

12

 

9

 

7

 

23

 

8

 

3

 

2

 

 

 

15

 

5

 

1

 

 

 

 

 

10

 

4

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

ÉTUDE

§         Valeur minimale de X

ü      c = 1, b = 2, d = 3,  a = 4 et e = 5

ü      X = 4 + 8 + 6 + 12 + 5 = 35

§         Est-elle valable?

ü      Hélas, non, il faut atteindre x = 43 pour éviter les répétitions (solution ci-dessus)

 

 

 

Littéral

X = M + N

= a + 4b

+ 6c

+ 4d + e

 

N = T + U

= b + 3c

+ 3d + e

 

U = C + D

= c + 2d + e

 

D = d + e

 

e

 

M = S  + T

= a + 3b

+ 3c + d

 

T = B + C

= b + 2c + d

 

C = c + d

 

d

 

 

 

S = A  + B

= a + 2b + c

 

B = b + c

 

c

 

 

 

 

 

A =a + b

 

b

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Exemple avec 35: non valable!

35

 

16

 

9

 

6

 

4

 

19

 

7

 

3

 

2

 

 

 

12

 

4

 

1

 

 

 

 

 

8

 

3

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

Voici les valeurs de la ligne du haut de toutes les solutions jusqu'à 50

43,        20,        12,        9,            7

43,        23,        15,        10,            6

44,        20,        11,        7,            6

44,        24,        15,        10,            8

45,        22,        14,        11,            9

45,        23,        15,        10,            6

46,        20,        11,        7,            6

46,        22,        13,        8,            6

46,        24,        15,        11,            10

46,        26,        17,        12,            10

47,        20,        12,        9,            7

47,        22,        13,        8,            6

47,        23,        15,        10,            6

47,        23,        15,        12,            10

47,        24,        16,        11,            7

47,        24,        16,        13,            11

47,        25,        16,        12,            11

47,        27,        19,        14,            10

48,        20,        11,        7,         6

48,        21,        12,        8,         7

48,        23,        13,        7,         2

48,        23,        15,        10,        6

48,        25,        15,        11,        8

48,        25,        17,        14,        12

48,        27,        18,        13,        11

48,        28,        19,        14,        12

49,        22,        13,        10,        8

49,        23,        13,        7,         2

49,        23,        15,        12,        10

49,        24,        15,        10,        8

49,        24,        16,        11,        7

49,        25,        16,        12,        11

49,        25,        17,        14,        12

49,        26,        16,        12,        9

49,        26,        18,        13,        9

49,        27,        18,        12,        7

50,        20,        11,        7,         6

50,        20,        12,        9,         7

50,        21,        12,        8,         7

50,        22,        12,        9,         8

50,        22,        13,        8,         6

50,        23,        14,        11,        10

50,        23,        15,        10,        6

50,        24,        15,        10,        8

50,        24,        16,        11,        7

50,        26,        17,        13,        12

50,        26,        18,        15,        13

50,        27,        18,        12,        8

50,        27,        19,        16,        14

50,        28,        18,        11,        6

50,        28,        19,        15,        14

50,        29,        20,        15,        13

50,        30,        21,        16,        14

50,        30,        22,        17,        13

 

 

Solutions optimales

-Ý-

           

 

OPTIMALES

 

Ordre

2

3

4

5

Solution optimale

T2 (3, 3)

T3 (8, 5)

T4 (20, 7)

T5 (43, 10)

 

 

-Ý-

Voir

§         Triangle

 

Aussi

>>> Triangle - 10 en 5 traits

>>> Triangle de Heilbronn

>>> Triangle de périmètre 20

>>> Triangles dans le triangle

>>> Triangle et dix pièces