FAQ - arithmétique- puissance

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

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CALCUL

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Rubrique

TRIPLETS DE PYTHAGORE

Question

(E) x²+y²=p²

P un nombre premier et (x,y) entiers naturels strictement positifs vérifiant l'équation (E)

Pour p = 2, pourquoi l'équation n'admet pas de solution ?

Pour p différent de 2, (x,y) est solution de l'équation

Comment prouver que x et y sont premiers entre eux ?

Réponse

Pour p = 2

L'égalité devient	x² + y² = 2² = 4
Partition possible de 4	1 + 3 = 4 2 + 2= 4
Aucun des termes n'est un carré	x² + y² = 4 n'est pas possible
De fait le premier triplet de Pythagore est	3² + 4² = 5²

Pour p > 2

Il existe des triplets primitifs comme 3² + 4² = 5²

Et des triplets quelconques comme 9² + 12² = 15²

Ou d'un manière générale (3k)² + (4k)² = (5k)²

Et bien d'autres en partant d'autres triplets primitifs

Les triplets primitifs (aucun facteur commun) possède la propriété suivante

Si les deux termes (côté) sont premiers,

le troisième (hypoténuse) l'est aussi

Et réciproquement

Voir démonstration en

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