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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 04/05/2008

 

 

-Ý-   FAQ - Foire aux Questions

ARITHMÉTIQUE

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/ Irrationnels

 

Sur cette page

 

>>>  PI découvert par les Grecs

>>> PI = 3,14159…et ça continue aussi loin que vous voulez

>>> Histoire de mesure de diagonale

>>> PI est irrationnel et même "pire"

 

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Rubrique

PI - NOMBRE IRRATIONNEL

Question

§  Je ne comprend pas pourquoi tous ces calculs pour trouver pi , puisque il suffit de diviser la circonférence par le diamètre et on trouve Pi.

§  On m'avait présenté Pi comme une découverte fantastique des Grecs.

§  Or, j ai pris un verre, mesuré sa circonférence avec une ficelle, ensuite le diamètre et j'ai divisé la circonférence (20,5) par le diamètre (6,5) et j ai trouve pi (3,1538)

§  Je pense que plus le cercle est grand plus on s'approche du bon chiffre

 

 

 

Réponse

 

A) PI découvert par les Grecs

 

§  C'est vrai, ils  ont découvert que ce nombre bizarre revenait toujours dans les calculs avec les cercles et les sphères

Ø  Pi est le rapport de

v  la circonférence au diamètre du cercle: C = p. D

v  l'aire (surface) du cercle au carré du rayon: AC = p. R²

v  l'aire (surface) de la sphère à 4 fois le rayon au carré: AS = 4p. R²

v  le volume de la sphère au 4/3 du rayon au cube: V = 4/3 p. R3

§  Dans toutes ces formules le rapport est exactement le même, une constante baptisée Pi

 

B) PI = 3,14159…et ça continue aussi loin que vous voulez

 

§  On connaît facilement Pi en faisant de simples mesures

§  Vous avez tout à fait raison sur le plan pratique, c'est-à-dire pour la vie de tous les jours

Ø La méthode de la ficelle, ou du mètre flexible de couturière est suffisant

Ø  Je prends une roue de vélo de 1 mètre de diamètre et je mesure la longueur extérieure du pneu. je trouve 3 mètres et 14 centimètre. Si je suis soigneux je vais même trouver 1 millimètre. Autrement dit 3,141

Ø  Vous remarquerez que la valeur du rapport (3,141) est différente de celle que vous avez trouvé (3,1538)

§  On touche du doigt le problème, et vous l'avez compris vous-même

Ø Plus le cercle est grand, plus le rapport sera précis

Ø  Admettons que, avec le meilleur soin, je sache mesurer les longueurs avec une précision du millimètre

Ø  Pour obtenir 5 chiffres précis de Pi (3, 14159), il faut mesurer une circonférence de 314 mètres et un diamètre de 100 mètres

Ø  On constatera, en étant hyper précautionneux, que ça ne tombe pas juste quand même

§  Disons-le tout de suite, pour connaître véritablement Pi, il faudrait dessiner un cercle de diamètre très très grand … infini

Ø  Quel que soit la taille du cercle et la finesse du mètre qui mesure, ça ne tombera jamais juste, il y aura toujours un petit bout en plus

Ø  On ne pourra jamais connaître tous les chiffres de Pi

Ø  On dit que connaissant le diamètre, on ne peut pas mesurer très finement la circonférence: elle est immesurable, on dit incommensurable

Ø  Le rapport Pi ne tombe jamais juste. Le nombre a de plus en plus de chiffres derrière la virgule. Il en a même une … infinité

Ø  On dit que Pi est irrationnel (il n'y a pas de fraction pour le représenter exactement)

§  Rassurons-nous! Dans la vie de tous les jours, il n'est pas utile de connaître plus de quelques chiffres de Pi

Ø  Avec 5 décimales (3, 14159), les architectes peuvent construire des stades de football  avec une précision du millimètre

Ø  Avec 10 décimales (3,1415926536), les ingénieurs peuvent calculer la trajectoire des fusées

 

C) Histoire de mesure de diagonale

 

§  Après avoir vu le côté pratique (maçon, architecte, modéliste …)

§  Voyons, le point de vue du mathématicien

Ø  Prenons pour commencer simplement le cas d'un triangle rectangle

Ø  Sur un sol plat, avec une équerre dessinez un angle droit

Ø  Avec un décamètre, dessinez un segment de 3 mètres de long sur un côté de l'angle droit

Ø  Puis, un segment de 4 mètres le long de l'autre angle droit

Ø  Maintenant, mesurez la diagonale

Ø  Vous trouvez pile- poil 5 mètres

Ø  Vous pouvez recommencer, avec un soin prodigieux, vous aurez exactement 5 mètres

§  L'affaire n'est pas mystérieuse, la relation entre ces valeurs était connue des grecs

Ø  C'est le fameux théorème de Pythagore
3² + 4² = 5²

§  En conclusion, on tombe juste!

Ø  On a affaire à des nombres entiers (sans virgule)

trg345

3² + 4² = 5²

9 + 16 = 25

§  Est-ce toujours le cas ? Eh, bien, non!

Ø  Prenez le triangle le plus simple: un mètre pour les deux côtés

Ø  Combien mesure la diagonale?

Ø  Appliquons le théorème de Pythagore

Ø  Le carré de la diagonale vaut 1² + 1² = 2

§  Il faut trouver un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2

Ø  On écrit: d . d = d² = 2 ou encore d = Ö2

Ø  Essayez avec votre calculette

trg11r2

1² + 1² = 2

 

On donne la valeur de d essayée et la valeur de d² calculée

On procède par approximations successives:

 une valeur trop petite,                                  une valeur top grande

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

 

1,4

1,96

 

 

 

 

 

 

 

1,5

2,25

 

 

 

1,41

1,98

 

 

 

 

 

1,42

2,01

 

 

 

 

 

1,414

1,999

 

 

 

1,415

2,002

 

 

 

 

 

 

 

…

 

…

 

 

 

 

 

Ø On trouve que d est plus grand que 1,414 et plus petit que 1,415

§  Si vous faites l'exercice, vous allez vite constater que

Ø vous pouvez toujours continuer, il y aura toujours de nouveaux chiffres et, jamais vous ne trouverez exactement la valeur 2 pour le carré de la diagonale

Ø voici 30 décimales: Ö2 = 1,414213562373095048801688724210

Ø Beurk! N'importe quoi … pas de logique dans la suite des chiffres

§  Le jour où Pythagore et ses collègues ont découvert ce phénomène, ils furent déçus

Ø Pour eux, tout devait être propre, esthétique… pas une suite de chiffres qui arrivent pratiquement au hasard

Ø Il ne fallait surtout que cela se sache. L'un d'entre eux, d'ailleurs, fut noyé pour tentative de divulgation du secret!

§  Revenons à nos moutons pour conclure ce paragraphe

Ø Le nombre Ö2 est particulier: il est IRRATIONNEL

v Il a un nombre infini de décimales

v Il n'y a pas de fraction qui puisse le représenter (on ne peut pas mesurer la diagonale, même avec un mètre qui irait des unités aussi fines que l'on voudrait, au-delà du millimètre)

v Il y a une formule (équation) qui permet de le caractériser: d² = 2

 

D) PI est irrationnel et même "pire"

 

§  Des décimales à l'infini

Ø  Pour le triangle de 1 de coté, avec votre calculette, vous pouvez constater que la quantité de décimales ne va jamais s'arrêter

Ø Avec le rapport de la circonférence la diamètre du cercle, c'est un peu plus difficile à montre, mais c'est la même chose

§  Un mathématicien ne s'arrête pas là

Ø Il en veut la preuve, la démonstration

Ø Elle fut trouvée pour Pi par un certain Lambert en  1761

Ø Donc à partir de cette date, plus aucun espoir de trouver

v une fin aux décimales

v ni une fraction pour définir Pi: le rapport de la circonférence au diamètre ne peut jamais tomber juste

§  Sachez que, avant cette preuve, de nombreux chercheurs essayaient de trouver un rapport qui tombe juste

Ø C'est le fameux problème de la quadrature du cercle

Ø Il s'agit de construire un carré et un cercle de la même surface exactement

Ø  C'est rigoureusement impossible, cela ne tombe jamais juste

Ø  Enfin, et pour vous montrer que Pi est encore plus mystérieux que cela

Ø  Que diriez-vous, si je vous disais que

v  les deux nombres Ö2 et p sont tous deux irrationnels, cela est entendu

v  mais Ö2 s'exprime par une équation (d² = 2), alors qu'il n'en existe aucune pour p

v  On dit que p est transcendant

 

FAQ - Poursuivre votre lecture sur le même sujet

>>> Pi est-il INCOMMENSURABLE ?

>>> QUADRATURE DU CERCLE & CALCUL de Pi

 

 

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