NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

-Ý- FAQ - Foire aux Questions			Glossaire
NUMÉRATION	/ Bases
Sommaire de cette page >>> TABLES d'addition et de multiplication en base de 2 à 16 >>> CONVERSIONS en base 7 >>> PUISSANCE en PUISSANCE 10		Pages Générales § Théorie des nombres - Index § Calcul § Logique § Géométrie § Jeux et puzzles § Humour

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Rubrique

CALCUL

Question

Tables d'additions et de multiplications en d'autres bases que la base dix ?
Réponse

Vous les trouverez sur ma page en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/AddMul.htm

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Rubrique

CONVERSIONS en base 7

Question

Convertir 545,2347 en base 7 ?

Réponse

0,2347 base 10 = 0, 143334135364 en base 10

Explications

1) PARTIE ENTIÈRE

Une division par 7 peut s'écrire comme suit

N = 7 q + r

Pour notre nombre

545 = 7 x 77 + 6

Le reste r = 6 est un des chiffres cherché

Le quotient q = 77 est réutilisé avec la même procédure

77 = 7 x 11 + 0

Nous obtenons un nouveau chiffre 0 et un nouveau nombre à travailler 11

11 = 7 x 1 + 4

Nouveau chiffre 4 et nouveau nombre pour la suite 1

1 = 7 x 0 = 1

Nouveau chiffre 1 et nouveau nombre pour la suite 0, donc fin

Soit le résultat

545 base 10 = 1406 en base 7

2) PARTIE DÉCIMALE

On va remplacer division par multiplication

On multiplie par 7

La partie entière est un des chiffres cherchés

On "rejoue" avec la nouvelle partie décimale

On y va

0,2347 x 7 = 1,6429 = 1 + 0,6429

La partie entière 1 est un des chiffres cherché

La nouvelle partie décimale est notre nouveau nombre pour la suite

0,6429 x 7 = 4,5003 = 4 + 0,5003

Nouveau chiffre 4 et nouvelle partie décimale 0,5003

0,5003 x 7 = 3,5021 = 3 + 0,5021

Etc.

0,5021 x 7 = 3,5147 = 3 + 0,5147

Soit notre résultat

0,2347 base 10 = 0, 1433… en base 10

En poursuivant vous trouverez

0,2347 base 10 = 0, 143334135364 en base 10

Vous trouverez cet exemple expliqué en détail sur ma page en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/ConPrati.htm

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Rubrique

CONVERSION puissance 2 en puissance 10

ou BINAIRE en DÉCIMAL

Question

Pourriez vous répondre au problème suivant:

"le plus grand nombre premier connu est P =(2 puissance 3 021 377) moins 1.

Quelle est l'estimation (ordre de grandeur) du nombre de chiffres de P ???"

Pourriez-vous m'expliquer la méthode de cette estimation: 

2 puissance 4194304 = 10 puissance 1260000

Réponse

A) Le plus grand nombre premier connu en 2002 est

2^13 466 917, il a 4 millions de chiffres (^ veut dire puissance)

Voici les trois précédents records

Record	Ordre de grandeur	Découverte
2^13 466 917 - 1	10 ^4 053 946	2001
2 ^6 972 593 - 1	10 ^2 098 960	1999
2 ^3 021 377 - 1	10 ^909 526	1998

Ce tableau et la suite se trouvent en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/record.htm

Ces records sont le fruit de recherches par le GIMPS qui regroupent tous les volontaires mettant le temps libre de leur ordinateur à la disposition du GIMPS pour mouliner des calculs

B) L'estimation du nombre de chiffres en décimal passe par le log base 10 de 2

log base 10 de 2 = 0,3010299957…

log base 10 de 10 = 1

En effet, en faisant un petit détour par les logarithmes:

2^k en log donne => log (2^k) = k . log (2)

10^p en log donne => log (10^p) = p . log (10) = p

En faisant l'égalité:

p = k . log (2)

Application pour le nombre de chiffres du premier record

13 466 917 x 0,3010299957… = 4 053 945 967

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