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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 01/10/2005

 

 

-Ý-   FAQ - Foire aux Questions

GÉOMÉTRIE

/ Puzzle

 

 

 

 

>>> DÉCOUPE DE TRIANGLES

>>> DÉCOUPE DE TRIANGLES - bis

>>> POLYGONES et DIAGONALES

>>> CARRÉ PARFAIT

Pages Générales

 

§         Théorie des nombres - Index

§         Calcul

§         Logique

§         Géométrie

§         Jeux et puzzles

§         Humour

 

 


 

 

Rubrique

DÉCOUPE DE TRIANGLES

Question

Je suis à la recherche d'un problème sur les triangles dont la surface n'est pas la même selon le découpage.

Réponse

Il s'agit du puzzle de Lewis Carroll

Qui utilise des propriétés des nombres de Fibonacci

Vous trouverez toutes les explications et figures sur ma page en

http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/LewisCar.htm

C'est effectivement très troublant lorsqu'on ne connaît pas l'explication

 

-Ý- 

 

 

 

Rubrique

DÉCOUPE DE TRIANGLES - bis

Question:

Énigme du pavage mystérieux du triangle:

Avec les mêmes pièces et selon la disposition on couvre le triangle ou à un carré près!

Qu'est devenu le carré en trop ?

 Solution

La solution tient aux fait qu'en y regardant de plus près, ce ne sont pas tout à fait les mêmes pièces qui sont utilisées dans les deux pavages

Regardez bien où passe l'hypoténuse du triangle par rapport au quadrillage

L'explication est dans les nombres de Fibonacci, le nombre d'or et Lewis Carroll

Vous la trouverez sur la page suivante:

http://villemin.gerard.free.fr/Puzzle/LewisCar.htm

 

-Ý- 

 

 

 

Rubrique

POLYGONES et DIAGONALES

Question

Je recherche les noms pour un polygone à 18, 20 et 1000 côtés, et le nombre de leurs diagonales.
 
Réponse

A) Baptême des polygones

18 => octakaidécagone

20=> icosagone

1000 => myriagone

Explications et autres quantités de côtés en

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Polygone.htm#Bapteme

Ces noms ne sont jamais utilisés, c'est pour un simple amusement

 

 

B) Quantité de diagonales

Partons d'un polygone de n côtés

(On note qu'il a aussi n sommets)

On part du constat que:

Quantité totale de segments (s) égale

Quantité de côtés (n) plus quantité de diagonales (d)

s = n + d

Or on sait (voir ci-dessous) que le nombre total de segments joignant n points est

s = n (n-1) / 2

On remplace pour avoir la solution finale

d = s - n

d = n (n-1) / 2 - n = n (n-3) /2

Exemple pour 5 côtés

n = 5 et d = 5 (5-3) / 2 = 5

n = 6 et d = 6 (6-3) / 2 = 9

n = 1000 et d = 1000 (1000-3) / 2 =498 500

 

C) Quantité de segments pour n points

Pour aider à visualiser, faire une figure avec 5 côtés par exemple

Tout ce qui suit est évident, surtout avec une figure

Mais à l'écrire c'est long

Allons-y:

Première étape: dénombrement (comptage)

Prenons le premier point:

on peut joindre tous les points (n),

sauf le point considéré (-1);

soit la formation de n-1 segments

Avec le deuxième point:

on peut aussi joindre tous les points (n),

sauf le point considéré (-1) et

SAUF le premier point déjà vu (-1)

soit la formation de n-2 segments

Avec le troisième point:

on peut aussi joindre tous les points (n),

sauf le point considéré (-1) et

SAUF les deux points déjà vu (-2)

soit la formation de n-3 segments

Etc.

Avec le dernier point:

On ne peut rien tracer: tous les points précédents ont été vus

Mais reprenons la même forme de raisonnement

on peut joindre tous les points (n),

sauf le point considéré (-1) et

SAUF les n-1 points déjà vu (-(n-1))

soit la formation de n- 1 - (n-1) segments

qui donne 0

Avec l'avant dernier point:

on peut joindre tous les points (n),

sauf le point considéré (-1) et

SAUF les n-2 points déjà vu (-(n-2))

soit la formation de n- 1 - (n-2) segments

qui donne 1

Vous l'avez compris le point précédent (n-2) donnerait 2

Etc

 

Deuxième étape: totalisation

Récupérons nos résultats de comptage

Premier point: n-1

Deuxième: n-2

Troisième: n-3

Etc.

Avant-avant-dernier: 2

Avant-dernier: 1

Dernier 0

Découverte! Il s'agit de tous les nombres de 1 à (n-1)

Il faut les ajouter pour trouver la quantité de tous les segments

 

L'astuce consiste à les écrire DEUX fois

Une fois en décroissant et une fois en croissant

Et alors la somme devient évidente comme par enchantement

s = (n-1) + (n-2) + (n-3) +    + 3 +      2      + 1

s =      1  +     2   +      3 + … (n-3) + (n-2) + (n-1)

Si on ajoute ces deux lignes

Chaque sous-total comme (n-1) + 1 donne  n

Faisons cette somme

2s = n + n + n + … + n + n+ n

On retrouve n autant de fois que de sous-totaux

Soit n-1 fois

Ce qui nous donne notre formule

2s = n (n-1)

s = n(n-1) / 2

 

 

D) Conclusions

S'il a quelque chose de très IMPORTANT à retenir de tout cela c'est

1)     Comment faire la somme des nombre successifs
Pour compléter: Voir nombres triangulaires en
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTriang.htm

2)     Comment compter le nombre de segments joignant n points
Pour compléter: Voir ce sujet en
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Point.htm#quantite

 

-Ý- 

 

 

 

Rubrique

CARRÉ PARFAIT

 

Question

Pourriez-vous me dire simplement ce qu'est un carré parfait ?

Réponse

Mis à part le carré arithmétique (4² = 16)

il y a le carré géométrique bien connu

Le carré parfait est celui que l'on peut découper en carrés plus petits

Ces carrés plus petits doivent être tous différents

Le nombre minimum pour arriver à un tel exploit est de 21 petits carrés

Voir tout cela sur ma page en

http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/CarrParf.htm

 

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§        Géométrie