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NOMBRES -
Curiosités, théorie et us Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 01/10/2005 |
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Rubrique Question Déterminez tous les entiers naturels dont la somme du carré et du cube est égale au quadruple du suivant Réponse On va traduire cela en équation soit a le nombre et a+1 son suivant a^2 est le carré et a^3 est le cube Le problème devient, trouvez a tel que On développe simplement a^2 (1 + a) = 4 (a + 1) Deux cas se présentent b) a+1 n'est pas 0 On peut simplifier par a+1 a^2 = 4 a =
2 ou a = -2 Trois seules réponses:
-2 , -1, 2 |
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Rubrique Question Hypothèses a + b = 1 a² + b² = 2 Montrez que, alors: a^4 + b^4 est un nombre décimal Note : le chapeau veut dire puissance Réponse 1) Calcul numérique En fait, les deux équations de l'hypothèse donnent immédiatement les deux seules valeurs de a b = 1 - 2 Seule possibilité pour résoudre cette équation a ou (a - 1) est inférieur à 1/2 Si on calcule les solutions (ou avec un graphe), on trouve 1,366025… ou -0,366025 En calculant a^4 + b^4 , on trouve 3,5
qui est décimal (pas entier) 2) Calcul littéral Pour obtenir une équation en puissance 4, on va élever au carré la seconde équation de l'hypothèse ( Il s'agit d'évaluer le produit ab Or celui-ci, apparaît dans le carré de a+b On se souvient aussi que par hypothèse a+b = 1 ( 2 On remplace a^4 + b^4 = 4 - 2(ab)² = 4 - 2 (-1/2)² = 4 - 2 (1/4) a^4
+ b^4 = 3,5 Voir ma page sur les identités remarquables http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm |
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